数学の偉大なところは「異なるものが，ある種の同一視 を通じて，同じように振る舞う」と考え，統一的に扱う見方を与えてくれるところです．群論においては，何らかの変換操作 に対して，それによる違いを無視できるという発想が重要になります．例えば，円周上の点を考えたとき，360度回すのも0度回すのも元の位置に戻るため，回転角の違いを「360度の倍数だけ違うものは同じ」とみなすことができます．
この考え方のもと，集合の要素を分類すると，その各々は剰余類と呼ばれます．いま挙げた例でいうと，回転数の違いを無視して分類した集合が剰余類になります．さらに，剰余類同士での演算も，構造を保ったままできると，個々の要素の違いは捨てて，代表元だけを取ってきても同じように計算ができて便利です．このように構成された集合のことを剰余群といいます．剰余群の構成は，群の正規部分群を用いることで体系的に行えます．
また，群と群を比較したときに，一見異なるものを構造によって同じとみなすのが準同型の考え方です．準同型を考えると，元の群の一部の違いを無視しながら，より単純な群に置き換えることができます．このとき，準同型の核（カーネル）を用いて剰余群を構成すると，元の群の情報を適切に圧縮しながら，新しい群を得ることができます．
一般に，ある操作を施しても変わらない性質があるとき，対称性 があるといいます．したがって，群論の根底には広い意味での対称性の概念が横たわっているといえます．
今回は，群論のこのような考え方を理解することを目標に解説します．
群の定義 「同一視」の二種類の意味 剰余類による同一視 同型写像による同一視 剰余群と準同型定理 剰余群 準同型定理 例 整数の集合 回転操作 群の定義 群（group）
G
\circ集合 」であり，その集合上での「構造 （結合則，単位元・逆元の存在）」を持つものと定義されます．具体的に書くと，
演算について閉じていること（closure）
s,t \in G
s\circ t \in G結合法則（associativity）
s , t , u ∈ G s,t,u \in G s , t , u ∈ G
s,t,u \in G
( s ∘ t ) ∘ u = s ∘ ( t ∘ u ) (s\circ t) \circ u = s \circ (t\circ u) ( s ∘ t ) ∘ u = s ∘ ( t ∘ u )
(s\circ t) \circ u = s \circ (t\circ u)単位元の存在（identity）
s\in G
s ∘ e = e ∘ s = e s\circ e = e \circ s = e s ∘ e = e ∘ s = e
s\circ e = e \circ s = e
e
G逆元の存在（inverses）
s\in G
s ∘ s − 1 = s − 1 ∘ s = e s\circ s^{-1} = s^{-1} \circ s = e s ∘ s − 1 = s − 1 ∘ s = e
s\circ s^{-1} = s^{-1} \circ s = e
s^{-1}
G
の性質が満たされている集合をいいます．数や行列や関数などの集合に適切な演算を入れたものに上の性質が満たされていればそれは群です．
群論が強力なのは，演算の具体的な形を指定しなくても，この抽象的な性質（公理系）だけからかなりのことがいえるからです．以下では演算の記号を略して単に
s ∘ t = s t s\circ t = st s ∘ t = s t
s\circ t = st
と書くことにします．また，この演算のことを積と呼びます．一般に積は交換可能ではありませんが，交換可能なとき，つまり
st=tsアーベル群（加法群） といいます．アーベル群の積のことは「和」ともいい，演算の記号を「
+
「同一視」の二種類の意味 「同一視」にも二種類あり，剰余類による同一視は「自分自身の中で同じものを分類すること」といえ，同型写像による同一視は「自分と他人が同じような振る舞いをすること」といえます．このことを見ていきましょう．
剰余類による同一視 群論では，本質的に区別する必要のないものを同一視し，より簡潔な集合を考えることができます．この集合を与えるために，部分群というものを考えると，区別しなくてよい部分が何かを定めることができます．
さて，群
G
H
G
H
G部分群（subgroup） といいます．
H
・
s,t\in H
st\in H
s\in H
s^{-1} \in H
を満たすとき
H
G
s , t ∈ H ならば s − 1 t ∈ H s,t\in H \text{ ならば } s^{-1}t\in H s , t ∈ H ならば s − 1 t ∈ H
s,t\in H \text{ ならば } s^{-1}t\in H
としても
H
G
一般に，群
G
H
G
H
G
s\in G
G
H
s H : = { s h ∣ h ∈ H } sH := \{ sh \mid h\in H\} sH := { s h ∣ h ∈ H }
sH := \{ sh \mid h\in H\}
を考えます．すると，この集合は，
s − 1 t ∈ H s^{-1} t \in H s − 1 t ∈ H
s^{-1} t \in H
s
t左剰余類（left coset） といいます．（代表元を左に置いているから左剰余類．）
H s : = { h s ∣ h ∈ H } Hs := \{ hs \mid h\in H\} Hs := { h s ∣ h ∈ H }
Hs := \{ hs \mid h\in H\}
を考えた場合にできる同値類は右剰余類（right coset） といいます．
sH
tH
h i , h j ∈ H h_i,h_j \in H h i , h j ∈ H
h_i,h_j \in H
s h i = t h j sh_i = th_j s h i = t h j
sh_i = th_j
h_i
s = t h j h i − 1 s = t h_j h_i^{-1} s = t h j h i − 1
s = t h_j h_i^{-1}
h j h i − 1 ∈ H h_j h_i^{-1} \in H h j h i − 1 ∈ H
h_j h_i^{-1} \in H
s H = t h j h i − 1 H = t H s H = t h_j h_i^{-1} H = t H sH = t h j h i − 1 H = t H
s H = t h_j h_i^{-1} H = t H
sH
tH
G
G = H ∪ s H ∪ t H ∪ u H ∪ ⋯ G = H \cup sH \cup tH \cup uH \cup \cdots G = H ∪ sH ∪ t H ∪ u H ∪ ⋯
G = H \cup sH \cup tH \cup uH \cup \cdots
と重複なく分解することができます．これが群
G
H ということの意味であり，得られた新しい集合を
G / H = { H , s H , t H , ⋯ } G/H = \{ H, sH, tH, \cdots\} G / H = { H , sH , t H , ⋯ }
G/H = \{ H, sH, tH, \cdots\}
と書き，左剰余集合 といいます．（この集合が群になる剰余群についてだけこの記号
G/H指数（index） といい，
(G:H)
剰余類の性質として，任意の代表元
s
∣ H ∣ = ∣ s H ∣ |H| = |sH| ∣ H ∣ = ∣ sH ∣
|H| = |sH|
が成り立ちます．
|H|
H位数（order） といいます．つまり，どの剰余類もサイズが等しいわけです．また，
s\in H
H = sH
でもあり，これは並べ替え定理 といいます．
s
H
sH
s h i = s h j sh_i = sh_j s h i = s h j
sh_i = sh_j
h i , h j ∈ H h_i,h_j \in H h i , h j ∈ H
h_i,h_j \in H
s^{-1}
h_i = h_j
∣ G ∣ = ( G : H ) ∣ H ∣ |G| = (G:H) |H| ∣ G ∣ = ( G : H ) ∣ H ∣
|G| = (G:H) |H|
が直ちにいえます．これをラグランジュの定理 といいます．元の群の位数
|G|
同型写像による同一視 二つの群
G
G'
G
G'
f
g\in G
g'\in G'
g'=f(g)
f ( g i ) f ( g j ) = f ( g i g j ) f(g_i)f(g_j) = f(g_i g_j) f ( g i ) f ( g j ) = f ( g i g j )
f(g_i)f(g_j) = f(g_i g_j)
が成り立つとき，
f
G
G'準同型（homomorphic） であるといいます．これを
G \sim G'
準同型の性質として重要なものを二つ挙げておきます．群
G
G'
f
f ( e ) = e ′ f ( g − 1 ) = f ( g ) − 1 \begin{align*}
f(e) &= e'\\
f(g^{-1}) &= f(g)^{-1}
\end{align*} f ( e ) f ( g − 1 ) = e ′ = f ( g ) − 1
\begin{align*}
f(e) &= e'\\
f(g^{-1}) &= f(g)^{-1}
\end{align*}
が成り立ちます．ただし，
e
G
e'
G'
f ( e ) = f ( e e ) = f ( e ) f ( e ) f(e) = f(ee) = f(e)f(e) f ( e ) = f ( ee ) = f ( e ) f ( e )
f(e) = f(ee) = f(e)f(e)
f(e)=e'
f ( g − 1 ) f ( g ) = f ( g − 1 g ) = f ( e ) = e ′ f(g^{-1}) f(g) = f(g^{-1}g) = f(e) = e' f ( g − 1 ) f ( g ) = f ( g − 1 g ) = f ( e ) = e ′
f(g^{-1}) f(g) = f(g^{-1}g) = f(e) = e'
f ( g − 1 ) = f ( g ) − 1 f(g^{-1}) = f(g)^{-1} f ( g − 1 ) = f ( g ) − 1
f(g^{-1}) = f(g)^{-1}
準同型写像がとくに全単射のとき，
G
G'同型（isomorphic） であるといい，
G\cong G'
剰余群と準同型定理 剰余群 部分群の中でも，群全体の対称性を支配するような重要な部分群があり，正規部分群（normal subgroup，またの名を不変部分群；invariant subgroup） というものがあります．正規部分群は，群全体で変換操作しても崩れない核となるようなもので，
H
G
g\in G
h \in H
g − 1 h g ∈ H g^{-1} h g \in H g − 1 h g ∈ H
g^{-1} h g \in H
さらに，
H
G
H
G / H = { s H ∣ s ∈ G } G/H = \{sH \mid s\in G\} G / H = { sH ∣ s ∈ G }
G/H = \{sH \mid s\in G\}
( s H ) ( t H ) = s H t H = s t t − 1 H t H = s t H H = s t H (sH)(tH) = sHtH = stt^{-1}HtH = stHH = stH ( sH ) ( t H ) = sH t H = s t t − 1 H t H = s t HH = s t H
(sH)(tH) = sHtH = stt^{-1}HtH = stHH = stH
とかけるから，
( s H ) ( t H ) = s t H (sH)(tH) = st H ( sH ) ( t H ) = s t H
(sH)(tH) = st H正規部分群で割って得られる群を剰余群（factor group） といいます．
準同型定理 二つの群
G
G'
f:G\to G'
n
1
1
この説明をする前に，群
G
G'
f
f
k e r ( f ) : = { g ∈ G ∣ f ( g ) = e ′ } \mathrm{ker}(f) := \{ g \in G \mid f(g) = e' \} ker ( f ) := { g ∈ G ∣ f ( g ) = e ′ }
\mathrm{ker}(f) := \{ g \in G \mid f(g) = e' \}
と書きます．
f
I m ( f ) : = { f ( g ) ∣ g ∈ G } \mathrm{Im}(f) := \{ f(g) \mid g \in G \} Im ( f ) := { f ( g ) ∣ g ∈ G }
\mathrm{Im}(f) := \{ f(g) \mid g \in G \}
と書きます．
準同型写像
f:G\to G'
G になります．これを示すのは次のようにしてできます．まず任意の
s , t ∈ k e r ( f ) s,t \in \mathrm{ker}(f) s , t ∈ ker ( f )
s,t \in \mathrm{ker}(f)
f ( s − 1 t ) = f ( s ) − 1 f ( t ) = e ′ e ′ = e ′ f(s^{-1}t) = f(s)^{-1}f(t) = e' e' = e' f ( s − 1 t ) = f ( s ) − 1 f ( t ) = e ′ e ′ = e ′
f(s^{-1}t) = f(s)^{-1}f(t) = e' e' = e'
s − 1 t ∈ k e r ( f ) s^{-1}t \in \mathrm{ker}(f) s − 1 t ∈ ker ( f )
s^{-1}t \in \mathrm{ker}(f)
g\in G
s ∈ k e r ( f ) s \in \mathrm{ker}(f) s ∈ ker ( f )
s \in \mathrm{ker}(f)
f ( g s g − 1 ) = f ( g ) f ( s ) f ( g ) − 1 = e ′ f(g s g^{-1}) = f(g) f(s) f(g)^{-1} = e' f ( g s g − 1 ) = f ( g ) f ( s ) f ( g ) − 1 = e ′
f(g s g^{-1}) = f(g) f(s) f(g)^{-1} = e'
g s g − 1 ∈ k e r ( f ) g s g^{-1}\in \mathrm{ker}(f) g s g − 1 ∈ ker ( f )
g s g^{-1}\in \mathrm{ker}(f)
k e r ( f ) \mathrm{ker}(f) ker ( f )
\mathrm{ker}(f)
G
\mathrm{Im}(f)
G / k e r ( f ) ≅ I m ( f ) G/\mathrm{ker}(f) \cong \mathrm{Im}(f) G / ker ( f ) ≅ Im ( f )
G/\mathrm{ker}(f) \cong \mathrm{Im}(f)
であり，これを準同型定理（fundamental theorem on homomorphisms） といいます．このときの同型写像は
s\in G
f ˉ : s k e r ( f ) ↦ f ( s ) \bar f: s \mathrm{ker}(f ) \mapsto f(s) f ˉ : s ker ( f ) ↦ f ( s )
\bar f: s \mathrm{ker}(f ) \mapsto f(s)
f(s)
s,t\in G
s k e r ( f ) = t k e r ( f ) s\mathrm{ker}(f) = t\mathrm{ker}(f) s ker ( f ) = t ker ( f )
s\mathrm{ker}(f) = t\mathrm{ker}(f)
f ˉ ( s k e r ( f ) ) = f ˉ ( t k e r ( f ) ) \bar f(s \mathrm{ker}(f)) = \bar f(t \mathrm{ker}(f)) f ˉ ( s ker ( f )) = f ˉ ( t ker ( f ))
\bar f(s \mathrm{ker}(f)) = \bar f(t \mathrm{ker}(f))
k e r ( f ) \mathrm{ker}(f) ker ( f )
\mathrm{ker}(f)
k ∈ k e r ( f ) k \in \mathrm{ker}(f) k ∈ ker ( f )
k \in \mathrm{ker}(f)
s = tk
f ˉ ( s k e r ( f ) ) = f ( s ) = f ( t k ) = f ( t ) f ( k ) = f ( t ) = f ˉ ( t k e r ( f ) ) \bar f(s \mathrm{ker}(f)) = f(s) = f(tk) = f(t) f(k) = f(t) = \bar f (t \mathrm{ker}(f)) f ˉ ( s ker ( f )) = f ( s ) = f ( t k ) = f ( t ) f ( k ) = f ( t ) = f ˉ ( t ker ( f ))
\bar f(s \mathrm{ker}(f)) = f(s) = f(tk) = f(t) f(k) = f(t) = \bar f (t \mathrm{ker}(f))
例 簡単な例をいくつか紹介します．
整数の集合 整数の集合
Z = { ⋯ , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ } \mathbb{Z} = \{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots \} Z = { ⋯ , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ }
\mathbb{Z} = \{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots \}
0
a \in \mathbb{Z}
-a
3
3\mathbb{Z}
\mathbb{Z}
3\mathbb{Z}
3\mathbb{Z}
Z / 3 Z = { 0 + 3 Z , 1 + 3 Z , 2 + 3 Z } \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0+3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z} \} Z /3 Z = { 0 + 3 Z , 1 + 3 Z , 2 + 3 Z }
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0+3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z} \}
と分解できます．数値が
3
3
回転操作 ここでは複素平面上での120度回転を考えてみましょう．120度の回転を表す複素数を
ω = e i 2 π / 3 \omega = e^{i2\pi/3} ω = e i 2 π /3
\omega = e^{i2\pi/3}
C 3 = { 1 , ω , ω 2 } C_3 = \{1,\omega, \omega^2 \} C 3 = { 1 , ω , ω 2 }
C_3 = \{1,\omega, \omega^2 \}
整数の集合
\mathbb{Z}
C_3
f
f ( n ) = ω n ( n ∈ Z ) f(n) = \omega^n \ (n\in \mathbb{Z}) f ( n ) = ω n ( n ∈ Z )
f(n) = \omega^n \ (n\in \mathbb{Z})
で定義します．すると，
s , t ∈ Z s,t\in \mathbb{Z} s , t ∈ Z
s,t\in \mathbb{Z}
f ( s + t ) = ω s + t = ω s ω t = f ( s ) f ( t ) f(s+t) = \omega^{s+t} = \omega^s \omega^t = f(s)f(t) f ( s + t ) = ω s + t = ω s ω t = f ( s ) f ( t )
f(s+t) = \omega^{s+t} = \omega^s \omega^t = f(s)f(t)
f
I m ( f ) = C 3 \mathrm{Im}(f) = C_3 Im ( f ) = C 3
\mathrm{Im}(f) = C_3
k e r ( f ) = { n ∈ Z ∣ f ( n ) = 1 } = { n ∈ Z ∣ ω n = 1 } = { 3 n ∣ n ∈ Z } = 3 Z \mathrm{ker}(f) = \{ n \in \mathbb{Z} \mid f(n) = 1 \} = \{ n \in \mathbb{Z} \mid \omega^n = 1 \} = \{ 3n \mid n \in \mathbb{Z} \} = 3\mathbb{Z} ker ( f ) = { n ∈ Z ∣ f ( n ) = 1 } = { n ∈ Z ∣ ω n = 1 } = { 3 n ∣ n ∈ Z } = 3 Z
\mathrm{ker}(f) = \{ n \in \mathbb{Z} \mid f(n) = 1 \} = \{ n \in \mathbb{Z} \mid \omega^n = 1 \} = \{ 3n \mid n \in \mathbb{Z} \} = 3\mathbb{Z}
準同型定理により，
Z / 3 Z ≅ C 3 \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong C_3 Z /3 Z ≅ C 3
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong C_3
3
対称操作 ある物体に対して操作をしても，見た目が変わらないような操作のことを対称操作といいます．例えば，正三角錐を考えてみると，120度の回転，240度の回転，適当な面に対して鏡写しする操作（鏡映操作）は対称操作になっています．120度回転操作を
c_3
σ , σ ′ , σ ′ ′ \sigma,\sigma',\sigma'' σ , σ ′ , σ ′′
\sigma,\sigma',\sigma''
C 3 v = { 1 , c 3 , c 3 2 , σ , σ ′ , σ ′ ′ } C_{3v} = \{1, c_3, c_3^2, \sigma, \sigma', \sigma'' \} C 3 v = { 1 , c 3 , c 3 2 , σ , σ ′ , σ ′′ }
C_{3v} = \{1, c_3, c_3^2, \sigma, \sigma', \sigma'' \}
C_{3v}
{ 1 , c 3 , c 3 2 } \{ 1,c_3,c_3^2\} { 1 , c 3 , c 3 2 }
\{ 1,c_3,c_3^2\}
{ 1 , σ } \{ 1, \sigma \} { 1 , σ }
\{ 1, \sigma \}
{ 1 , σ ′ } \{ 1, \sigma' \} { 1 , σ ′ }
\{ 1, \sigma' \}
{ 1 , σ ′ ′ } \{ 1, \sigma'' \} { 1 , σ ′′ }
\{ 1, \sigma'' \}
{ 1 , c 3 , c 3 2 } = C 3 \{ 1,c_3,c_3^2 \} = C_3 { 1 , c 3 , c 3 2 } = C 3
\{ 1,c_3,c_3^2 \} = C_3
C 3 v / C 3 = { C 3 , σ C 3 } C_{3v}/C_3 = \{ C_3, \sigma C_3 \} C 3 v / C 3 = { C 3 , σ C 3 }
C_{3v}/C_3 = \{ C_3, \sigma C_3 \}
とできます．
{ 1 , σ } = : H σ \{ 1, \sigma \} =: H_\sigma { 1 , σ } =: H σ
\{ 1, \sigma \} =: H_\sigma
C 3 v / H σ = { H σ , c 3 H σ , c 3 2 H σ } = { H σ , σ ′ H σ , σ ′ ′ H σ } \begin{align*}
C_{3v}/H_\sigma &= \{ H_\sigma, c_3 H_\sigma, c_3^2 H_\sigma \} \\
&=\{ H_\sigma, \sigma' H_\sigma, \sigma'' H_\sigma \}
\end{align*} C 3 v / H σ = { H σ , c 3 H σ , c 3 2 H σ } = { H σ , σ ′ H σ , σ ′′ H σ }
\begin{align*}
C_{3v}/H_\sigma &= \{ H_\sigma, c_3 H_\sigma, c_3^2 H_\sigma \} \\
&=\{ H_\sigma, \sigma' H_\sigma, \sigma'' H_\sigma \}
\end{align*}
などと書けますが，こちらは代表元の選び方によって自然な積が定義できないことがわかります．鏡映は特定の軸に依存した対称性であるのに対して，回転は群全体を支配するより本質的な対称性だといえます．
まとめ 群論では，特定の変換による違いを無視し，統一的に扱う発想が重要となる．集合を分類したものが剰余類であり，適切な演算が定義できると剰余群を成す．また，準同型を用いると，群の一部の違いを無視しながら単純な群に置き換えられる．特に，その核を用いて剰余群を構成することで，群の情報を適切に圧縮できる．群論は本質的な対称性を捉え，異なるものを同一視する枠組みを提供する．
クオリティの高いノートをたくさん書けるように頑張ります！
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