モノタイル

平面のタイル張り（タイル貼り，平面充填，タイリング，テセレーション，tiling，tessellation）とは，タイルと呼ばれる集合の集まりで平面を隙間なく，かつ，タイルの境界を除いて重なりなく被覆することです．タイルとは，シンプルな閉じた曲線である境界を持つトポロジカルディスク（である有界閉集合）を指します．

全てのタイルが同じサイズで同じ形状のタイル張りを，「モノヘドラル（monohedral）」と言います．モノヘドラルタイル張りでは裏返したタイルを使うことが許されます．このモノヘドラルタイル張りを形成できるタイルを「モノタイル（monotile）」と呼ぶことにします．

タイル張りの周期的・周期性・非周期的とは

このページでは，「非周期的モノタイル（非周期的タイル）」などと呼ばれている，非周期的タイル張りのみ可能なモノタイルに関連した話を書いています．ただし，タイル張りにおける「周期」と「非周期」の扱い，また日本語では共に「非周期的」と訳される「non-periodic」と「aperiodic」という英単語の扱いなどの注意を理解しておかないと，「非周期的モノタイル」や「非周期的タイル」などとして日本語訳されている「aperiodic monotile」がなにかを理解しくいと思います．したがって，まずはタイル張りの「周期」について話を始めたいと思います．

「非周期的タイル張り（non-periodic tiling）」は，その言葉の組み合わせから「タイル張りが周期的でない（a tiling is no periodic）」と考えると思いますが，そこに使われている「周期的」という用語が一般に考えられている（大学の教養程度までの数学で習った？）内容とタイル張りの研究分野，特に非周期的タイル張りの議論をする場合とで差異があると感じています．したがって，そのギャップを埋めるために「周期的」と「周期性」という言葉を使って，タイル張りの「周期」と呼ばれる性質やその現状を，私なりに以下説明します．

一般に，平面の「タイル張りが周期的である（a tiling is periodic）」，つまり「周期的タイル張り（periodic tiling）」とは，ある方向にそのタイル張り全体を平行移動すると自分自身に重なるような方向が2つ存在することを指します（そのように考えている人が多いと思います）．これをベクトルという用語を使って言い直すと，タイル張りが2つの一次独立なベクトルによる自身の平行移動したものと一致する場合に該当します．

ここで，平面の「タイル張りが周期性を持つ（a tiling has periodicity）」とは，ある方向にそのタイル張り全体を平行移動すると自分自身に重なるような方向が2つもしくは1つ存在することにします（タイル張りが零ベクトルでない平行移動したものと一致する場合を，タイル張りは周期性を持つとします）．平面のタイル張りには，ある方向にそのタイル張り全体を平行移動すると自分自身に重なる方向が1つしかない（周期性を持つが周期的でない）ものもあるということです．このような周期性を持つが周期的でないタイル張りを「subperiodic tiling」と呼んで区別している人もいますが，ほとんど使われていないと思います．

上記の定義に従うと，タイル張りが周期的であるならば周期性を持ちますが、その逆は必ずしも成立しないとわかります． 周期的タイリングの集合は，周期性を持つタイル張りの集合に含まれます．

上述したタイル張りに関する「周期的である」や「周期性を持つ」の用語・言葉の使い方で違和感を持つ人もいるかと思います．実際，私の日常的な感覚だといわゆる「周期性を持つが周期的でないタイルの敷き詰め模様」を見たとき，それを「周期的」と感じてそのような物言いをすることもあります．幾何学の知識がそれなりにある人は，「周期的タイル張り」とは「ある方向にそのタイル張り全体を平行移動すると自分自身に重なるような方向が2つ存在すること」と考えていることが多い気がします．そのため，上記で述べたような「周期性を持つ」に該当する場合を含むものを周期的タイル張りとすると，「それは周期的タイル張りの定義ではない」と言われることもあります（実際経験しています）．

現在，タイル張りの研究分野でも共通認識の用語が定まっていないものがある状態です．したがって，タイル張りの話題をする場合，用語をどのように定義して使っているかの注意が必要です．

私の現在の認識では，タイル張りの研究において，周期的タイル張り（periodic tiling）とは周期性を持つタイル張りを指しています（ことがあります）．とくに，“Aperiodic”に該当する「非周期的」に関係するタイルやタイル張りの話題をする場合は，上記で述べた「周期性を持つ」性質を含めた場合を「周期的タイル張り」と定義して議論をしています．

そこで，以下ではタイル張りが周期性を持つ場合を「周期的タイル張り」，周期性を持っていないタイル張り（タイル張りの周期が零ベクトルしかないの場合）を「非周期的タイル張り（non-periodic tiling）」とします（ただし，以下の内容では「ある方向にそのタイル張り全体を平行移動すると自分自身に重なるような方向が2つ存在する」場合だけを「周期的タイル張り」と呼んでも問題はないと思います．ともかく，ここでの「非周期的タイル張り」とは「周期性を持っていないタイル張り」であると認識してください）．

無周期的原型タイル集合

タイリングを考えるときそこに使われているタイルの形状は有限個しかないことが一般的です（普通はそのように考えます）．これら有限個の図形を原型タイル（prototile）と呼び，原型タイルの集合はタイル張りを許す（平面をタイル張りする）と言います．

原型タイルの集合が「無周期的原型タイル集合（aperiodic set of prototiles, aperiodic prototile set, aperiodic set of tiles）」とは，原型タイルのどれかと合同なコピーを用いて平面をタイル張りすることが無数に異なる方法ででき，かつ，そのどのタイル張りも周期性を持たないことです（注：原型タイルに属する1種類だけを用いてタイル張りしたときにも，周期性を持ってはいけない）．

なお英単語の「non-periodic」と「aperiodic」はどちらも日常用語で「非周期的」として訳されますが，タイル張りの数学分野では「non-periodic」と「aperiodic」は与えられた役割が異なります（下の「補足説明」などを参照）．以下ではこの区別をしやすくするために，「aperiodic」に該当する箇所を「無周期的」とします（一応「無周期的」も「aperiodic」の訳語としてあります）．

したがって，無周期的原型タイル集合で平面を隙間や重なりなく被覆したものは，非周期的タイル張り（non-periodic tiling）になります．

非周期的タイル張りには，無周期的原型タイル集合を用いたものとそうでないものが存在します．（注：無周期的原型タイル集合を用いていない非周期的タイル張りは無限に存在しますが，その中にも興味深いものもあり研究されています）．

これから話題にしようとしているのは，無周期的原型タイル集合を用いた非周期的タイル張りです．

無周期的原型タイル集合として有名なものは，イギリスの物理学者のRoger Penrose（ロジャー・ペンローズ）博士が考案したペンローズ・ひし形タイルがあります（下図参照）．この2つのひし形を使ってタイル張りをするのですが，その敷き詰め（タイルを隙間なく並べる）方法は各タイルに課せられているタイル同士間の付き合わせ条件（マッチング条件）に従う必要があります．

このペンローズ・ひし形タイルの付き合わせ条件は「タイルを敷き詰めるとき，ひし形の頂点は同じ色の頂点のみでしか集まることができなく，向きがある（矢印を持つ）辺は同じ向きのものしかあわせることができない」というものです（この付き合わせ条件はここで示した図のタイルに対応するモノで，違う条件として表すこともできます）．

下図が，付き合わせ条件に従ってペンローズ・ひし形タイルで作った敷き詰め模様の例です（同様に敷き詰めを繰り返し，平面を無限に隙間なく覆うことでタイル張りができます）．この例では わかりやすくするため敷き詰め模様の図の全体も5回回転対称の構造にもしていますが，すくなくともこの図の範囲に周期性がないことが確認できるかと思います．このようにして作れるタイル張りは，ペンローズ・タイリングと呼ばれ，無周期的原型タイル集合を用いた非周期的タイル張りに該当します．

なお，上記はペンローズ・タイリングと呼ばれるものの作成方法の一例です．置換や自己相似などと呼ばれる方法でもそのタイリングが作成可能です（置換や自己相似などの方法は，タイルを1個1個並べるいわゆる「タイルを貼る」というイメージとは違うので，「無周期的原型タイル集合を用いた非周期的タイル張り」よりは「無周期的原型タイル集合を備えている非周期的タイル張り」という表現のほうがしっくりくるかもしれません）．

無周期的原型タイル集合の原型タイルの形も下図のようなカイトとダート（矢じり）型のタイルやそれ以外のものにすることも可能です．詳しくは，英語版Wiki「Penrose tiling」などを参照してください．

2011年のノーベル化学賞は「準結晶の発見」に与えられましたが，その準結晶構造のモデルの1つがペンローズ・タイリングとなっています．ペンローズ・タイリングは，準結晶の発見より約10年早く数学的に発見されていました．なお，タイルの発見者であるRoger Penrose博士も2020年にノーベル物理学賞を受賞しています．

Einstein Problem（アインシュタイン問題）と無周期的モノタイル

この無周期的原型タイル集合に関して，いままでに知られているものとは本質的に異なる無周期的原型タイル集合を見つけることが課題としてあげられていました．そのうちの一つは以下のような問題です．

「 1個の要素からなる無周期的原型タイル集合（付き合わせ条件があっても，なくてもよい）があるか？」

この問題は，Einstein Problemと呼ばれています．ただし，有名な物理学者のEinsteinとこの問題は関係ありません．「ein stein」が「一個の石」という意味なので，ダジャレ的にこのような名前がつけられています（この命名は，Ludwig Danzer博士とのこと）．

2011年に1個の要素からなる無周期的原型タイル集合の肯定的な解が，SocolarとTaylorによって示されています（ただし，その形をタイルとして見たとき，我々が普通に考えるタイルとはだいぶ違うためいろいろと議論があるようです）．

そして，2023年3月20日に，arXivで以下のような論文が公開されました．

An aperiodic monotile　https://arxiv.org/abs/2303.10798
David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss

この論文は，1個の要素からなる無周期的原型タイル集合，つまり無周期的モノタイル（aperiodic monotile）が見つかったという内容です．それも付き合わせ条件がない凹十三角形のタイルです．なお，論文で主に示されているのは8個のカイトで構成された形ですが，パラメーターでその形は連続的に変化できます．その内容は，論文のSection 6や

https://www.youtube.com/watch?v=W-ECvtIA-5A

などを参照してください．

また，この無周期的モノタイルで敷き詰め図を作れるブラウザベースのアプリケーションが

https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/

にて公開されています．

下図は上記のアプリで作図した敷き詰め図です．

この論文は2023年4月現在プレビュー版ですから，無周期的モノタイルではないという可能性はゼロではありません．ですが，著者の一覧や論文に示されているそのタイルとタイリングの性質から大丈夫ではないかと感じます．

2024年，ジャーナル「Combinatorial Theory」の「Volume 4, Issue 1」に上記の論文が掲載されました（arXivには2024年7月3日にv3がアップされていて，これがおそらくジャーナルに掲載されたバージョンとほぼ同じではないかと思います）．

Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2024). An aperiodic monotile, Combinatorial Theory, 4(1), 1–91. https://doi.org/10.5070/C64163843

さて，この論文の無周期的モノタイルは「hat」と論文の中で呼ばれていますが，このhatタイルを使ったある性質に気付きました．それに関しては「非周期的タイル張りのみ可能なタイル「hat」を使った周期性を持つ敷き詰め模様のベルト」をみてください．

また，この敷き詰め内で見つけたフィボナッチ数列のことを「 非周期的タイル張りのみ可能なタイル「hat」で形成したクラスタが備えるフィボナッチ数列と2回回転対称の性質」で紹介しています．

その他に「非周期的タイル張りのみ可能なタイル「hat」や「turtle」と凸五角形タイルのType 5のタイリングの関係」や『「Tile(1, 1)の非周期的のタイル張りTsを3種類の五角形を備えたタイル張りに変換する」の補足』や『「Tile(1, 1)の非周期的のタイル張りThを3種類の五角形を備えたタイル張りに変換する」の補足』なども考えたりもしました．

裏返しを必要としない無周期的モノタイルの発見

2023年5月28日に，arXivで新たな無周期的モノタイルの論文が公開されました．

A chiral aperiodic monotile　https://arxiv.org/abs/2305.17743
David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss

この論文は，論文「An aperiodic monotile」の無周期的モノタイル（aperiodic monotile）の結果を応用したものと言えます．論文「An aperiodic monotile」の無周期的モノタイルはタイリングを形成するのに裏返したタイル（鏡映像）を使う必要がありましたが，この新しい論文「A chiral aperiodic monotile」ではタイリングを形成するのに裏返し（鏡映）を必要としない無周期的モノタイルが見つかったという内容です無周期的モノタイルが見つかったという内容です．

その無周期的モノタイルは，論文「An aperiodic monotile」で周期的タイル張りを形成すると判断された形（Tile(1,1)）がベースになっています．このTile(1,1)に該当する凹十三角形は，裏返しを使うと周期的タイル張りを形成できますが，裏返しを使うことを許さないと非周期的タイル張りのみが可能という発見がありました．そして，この多角形の辺をうまく曲線にすることで，タイル張りで裏返し必要としない無周期的モノタイル（凹十四角形）が作れます（裏返したタイルの使用を許しても，片方の面を使った非周期的タイル張りしか生成できないモノタイルになります）．

なお，この無周期的モノタイルの解説（動画など含む）で，Tile(1,1)のことを「Spectres」と紹介しているのをみかけたりしますが，それは誤りだと思います．著者達が「Spectres」と名付けた（定義した）のは，Tile(1,1)の辺を曲線などに変形した厳密に対掌な非周期的モノタイル（chiral aperiodic monotiles）のファミリーです． 著者達は，論文中でTile(1,1)を「弱い対掌な非周期的モノタイル（weakly chiral aperiodic monotile）」とも呼んでいます．

概要は，著者のKaplan博士が作ったサイト

https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/

にて公開されています．

なお，この論文はジャーナルに受理されて2024年9月に公開されています．

Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2024). A chiral aperiodic monotile, Combinatorial Theory, 4(2), 1–25.　https://doi.org/10.5070/C64264241

Kaplan博士が無周期的モノタイル（アインシュタイン・タイル）について書いた記事の日本語訳「アインシュタイン・ タイルを探して」が

数学の楽園2　和算からアインシュタイン・タイルまで（別冊日経サイエンス276）

にあります．日経サイエンスのサイトから該当記事「特集：アインシュタイン・ タイルを探して」だけの購入もできるようです．

補足説明

上記の用語の定義は，非周期的タイル張りに関して私なりに以前まとめたものがベースになっています．それをまとめるにあたって，筑波大学の秋山茂樹教授から頂いたコメントなどを参考にしています．したがって，この分野での用語の認識とそれほどズレはないと思います． （広島大学の阿賀岡芳夫名誉教授にはこのページ作成でコメントを頂きました）．

日本語だと「タイル張り」と「タイル貼り」が混同しています．意味を考えると「タイルを貼る」から「タイル貼り」が正しいと思われます．私はタイル張り問題関わったとき，参考にした文献の多くが「タイル張り」であったこともあり，基本的には「タイル張り」を使い続けています．TOTOさんのサイトによると「タイルを貼る」を「タイルを張る」としても表現としては正しく，“「貼る」は使い方が限定的なため常用漢字から外されたという背景があり、新聞などの公用な文章では「張る」が使用されるようになっています。”という背景があるようです．

英語Wikiなどでは「Aperiodic tiling」というカテゴリが存在しますが，この分野の第一人者であるChaim Goodman-Strauss博士（上記の論文「An aperiodic monotile」の著者の一人）は，

• 「non-periodic」は「tiling」の形容詞として使い，「aperiodic」は「tile set」の形容詞として使う（形容する対象が異なる）
• 「Aperiodic tiling」という用語は非常に誤解を生みやすいので原則使わない（でほしい）

と話しているようです．そこで，私も「Aperiodic tiling」という用語を現在使わないようにしています．なお，上記の論文でも極力その方針で書かれているように見えますが，他で「aperiodic tiling」と使われていることもあってか論文中に「aperiodic tiling」という用語が数カ所使われているのを確認しています．

筑波大学の秋山茂樹教授は「aperiodic」を「強非周期的」のように訳して使っていると思われます．訳に「強」や「弱」という言葉を加えるのも一つの案ですが，上述したように「弱い対掌な非周期的モノタイル（weakly chiral aperiodic monotile）」のような存在もありえるので，私は「無周期的」を使うようにしました．

秋山茂樹教授は，2023年8月号の数学セミナーで「強非周期タイルの発見」という解説記事を掲載しています．なお，上記で紹介した日経サイエンスの「特集：アインシュタイン・ タイルを探して」の記事の日本語訳も担当しています．

上述では平面のタイル張り（平面充填）で「周期的である」と「周期性を持つ」の区別を示しましたが，高次元も考慮すると（高次元ではタイル張りと言うよりは空間充填のほうがしっくりきますが），

• 一次独立なベクトルの数がタイル張りの対象となる空間の次元の数と一致しているとき，「タイル張りが周期的である」と言う
• 一次独立なベクトルの数が1以上，かつ，タイル張りの対象となる空間の次元の数以下であるようなとき，「タイル張りが周期性を持つ」と言う

ことになると思います．
そして，非周期的タイル張りは周期性を持たないタイル張りなので，タイル張りの周期が零ベクトルしかないときとなります．

ここで「周期性」として説明したようなことは，論文「An aperiodic monotile」では「translational symmetry（並進対称性）」という用語を使っているように見えました．ここでの「symmetry（シンメトリー，対称性）」とは，ある対象の姿・形から見て取れる釣り合いや均整美などのこと（様式美）でなく，「対象を変化させない変換，あるいは，ある変換に関して不変である性質」のことです．また，上記での「タイル張りが周期性を持つが周期的でない」に該当するような場合は，論文「An aperiodic monotile」での「タイル張りが弱周期である（A tiling is weakly periodic …）」あたりに該当する気がします（ただし，定義は異なっているので注意）．

ペンローズ・タイルの付き合わせ条件は，純粋な幾何学的表現だけ与えることができます．一方で，SocolarとTaylorによって示されたタイルは，付き合わせ条件を持つものですが，純粋な幾何学的表現で与えようとするとタイルは2次元では切断されたタイルといえる形になってしまいます．そのような観点からも，今回のDavid Smith氏が見つけた付き合わせ条件が必要無くその形が把握しやすい凹13角形のhatタイルが大きな衝撃だったとも言えます．

上記のSmith氏らの無周期的モノタイルは凹形でした．では，「凸多角形（凸形）の無周期的モノタイルはあるか？」という疑問を持つ人がいるかもしれません．その答えは「おそらく存在しない」です．これは，凸五角形モノタイルの問題（凸五角形タイル張り問題）の解決と関係しています．「おそらく」としたのは，その問題が解決したと本当に言えるのかが明確ではないと感じられる面が現状あるからです．

では，「2個の凸多角形からなる無周期的原型タイル集合はあるのか？」と考えた人がいるかもしれません．そのよう方は，私の論文「凸多角形からなる無周期的タイル集合」と「3種類の凸多角形からなる無周期的タイル集合」などが参考になると思います．

著者のKaplan博士とは，直接会ったことはありませんが，メールのやりとりを何度かしたことがあります．2017年5月にフランスの数学者Michaël Rao博士がある研究会にて，「凸五角形モノタイルは15のファミリーしかない」と宣言したのですが，この場にKaplan博士はいたようです．それに触発されてKaplan博士は，有限のHeesch数を持つ凸五角形などに関するいくつかの考察をしています（このことは，荒木義明さんから教えてもらいました）．このKaplan博士の考察の結果の1つが，私の研究結果と同じものでした．その関係で何度かメールのやりとりをしました（無周期的モノタイルの発見後にも何度かメールのやりとりをしました）．

Einstein Problem（アインシュタイン問題）から，無周期的モノタイル（aperiodic monotile）は「einstein」や「einstein tile（アインシュタイン・タイル）」などとも呼ばれているようです．

「Einstein Problem」と名付けたとされるLudwig Danzer博士ですが，2001年に日本に来日して講演をおこなっています．私は，Danzer先生が日本を去るとき（次はたしかオーストラリアに行くとの話だったと思います），成田空港までお送りしました．

私が，2012年に「edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形が既存のTypeと呼ばれる8つのファミリーのどれかに属す」という結果を得たとき，同時に「edge-to-edgeタイル張り可能な凸多角形タイルには，無周期的モノタイルが存在しない」という趣旨の主張をしました（当時の論文などでの用語や表現はここでのものと違うので注意）．それに該当するものは2012年に一部の方に配布していました（2015年にarXivにアップした「Tiling Problem: Convex Pentagons for Edge-to-Edge Monohedral Tiling and Convex Polygons for Aperiodic Tiling」がそれの改良版に該当します）．このあたりのことは， 「凸五角形タイル（平面充填凸五角形）の発見・研究の経過」の「限定された条件下でのその他の研究結果の紹介」に書きました．

そして，Edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形関連の論文が正式にジャーナルに受理された後に，論文「Convex Polygons for Aperiodic Tiling」の掲載を目指しました．2017年にジャーナル「Research and Communications in Mathematics and Mathematical Sciences」に，その論文が掲載されました．

その後に書籍や英語版のWikipediaの関連ページなどの情報からタイル張りにおける「aperiodic」という「非周期的（無周期的）」のことの理解も進みました．そのような経験を踏まえて，このようなまとめを作ってみました．

参考文献