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複素数平面の公式・定理・考え方

数学Cの複素数平面で使う公式・定理・考え方を、大学入試数学で実際に使う場面に絞って整理します。複素数平面は、複素数を点やベクトルとして扱い、絶対値を距離、偏角を向きとして読む分野です。計算と図形の対応を崩さないことが重要です。

入試問題解析では、1962年度〜2025年度の数学Cの複素数平面241問を分類しています。関連して出やすい分類は、テーマ/軌跡・領域79問、テーマ/図形総合78問、数学2/三角関数59問、数学2/複素数と方程式53問、テーマ/場合分け40問、数学2/図形と式37問です。

複素数の絶対値・偏角

複素数 $z=x+yi$ は、複素数平面上の点 $(x,y)$ と対応します。絶対値は原点からの距離です。

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

$z\ne0$ のとき、正の実軸から $z$ までの角を偏角といい、 $\arg z$ と表します。偏角は $2\pi$ の整数倍だけずれても同じ点を表すため、範囲を指定して扱う必要があります。

また、2点 $\alpha$ , $\beta$ の距離は

$|\alpha-\beta|$

で表せます。複素数平面の図形問題では、絶対値を距離として読むことが入口です。

極形式

$z\ne0$ のとき、 $r=|z|$ 、 $\theta=\arg z$ として、

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

と表せます。これを極形式といいます。

直交座標の形 $x+yi$ は加減算に向き、極形式は積、商、累乗に向きます。問題で回転や角度が関係するなら、極形式に直す価値があります。

積・商と回転拡大

複素数を極形式で見ると、積と商は図形的な意味を持ちます。

操作	絶対値	偏角
$z_1z_2$	$\|z_1\|\|z_2\|$	$\arg z_1+\arg z_2$
$\frac{z_1}{z_2}$	$\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}$	$\arg z_1-\arg z_2$

$w=(\cos\theta+i\sin\theta)z$ は、点 $z$ を原点中心に角 $\theta$ だけ回転した点を表します。さらに $r(\cos\theta+i\sin\theta)z$ なら、 $r$ 倍の拡大縮小も同時に行います。

ド・モアブルの定理

整数 $n$ について、

$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$

です。特に $r=1$ のとき、

$\{\cos\theta+i\sin\theta\}^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

となります。累乗や $n$ 乗根を扱う問題では、絶対値と偏角に分けると構造が見えます。

図形問題への利用

複素数平面では、図形条件を絶対値や偏角で表します。

$|z-\alpha|=r$ : 中心 $\alpha$ 、半径 $r$ の円
$|z-\alpha|=|z-\beta|$ : 2点 $\alpha$ , $\beta$ から等距離にある点の集合
$\arg\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\theta$ : 点 $\alpha$ , $\beta$ を見る角の条件
$w=az+b$ : 拡大、回転、平行移動を組み合わせた変換

図形問題では、まず「距離の条件」なのか「角の条件」なのかを分けます。距離なら絶対値、角なら偏角や商を使います。

軌跡問題への利用

軌跡問題では、条件を満たす点 $z$ の集合を求めます。

$|z-\alpha|=r$ は円
$|z-\alpha|\le r$ は円の内部を含む領域
$|z-\alpha|=|z-\beta|$ は線分 $\alpha\beta$ の垂直二等分線
$\left|\frac{z-\alpha}{z-\beta}\right|=k$ は、2点からの距離比が一定の点の集合

等式だけでなく、不等式になったときは境界線を求めたあと、どちら側の領域かを代表点で確認します。

方程式との融合

複素数方程式では、解を複素数平面上の点として見ます。例えば $z^n=1$ の解は、単位円上に等間隔に並ぶ点です。極形式を使うと、絶対値と偏角から解の配置を読み取れます。

二次方程式や高次方程式と結びつく問題では、解の和と積を使う代数的な処理と、解の位置関係を見る図形的な処理を切り替えます。回転や正多角形が見える場合は、極形式やド・モアブルの定理が有効です。

複素数平面で失点しやすい点

偏角が $2\pi$ の整数倍だけずれることを忘れる
$|z-\alpha|$ を、原点からの距離と誤読する
積で偏角が足され、商で偏角が引かれることを逆にする
軌跡問題で、境界だけ求めて領域の判定をしない
$z=0$ では偏角が定義されないことを確認しない
図形条件を、距離条件と角条件に分けずに式変形を始める

複素数平面は、式変形だけで押し切るより、絶対値は距離、偏角は角、積は回転拡大という対応を保つ方が安定します。

複素数平面を他分野へ接続する

複素数平面は、計算と図形を往復する分野です。絶対値は距離、偏角は角度、積は回転と拡大縮小として読むため、図形と方程式やベクトルと同じ条件を別の言葉で扱います。

三角関数表示やド・モアブルの定理を使う問題では、三角関数の加法定理・倍角公式と直結します。軌跡や領域を求める問題では、条件を変形するだけでなく、境界と内部を証明・論理の視点で確認することが重要です。

この公式集と一緒に見る問題

京都大学 2025年理系第1問: 数学2/式と証明、数学3/積分法、テーマ/最大・最小
東京大学 2025年理系第6問: 数学2/図形と式、テーマ/最大・最小
北海道大学 2025年理系第4問: 数学2/図形と式、テーマ/存在証明
九州大学 2024年理系第2問: 数学2/複素数と方程式、数学B/数列、テーマ/整式の証明
大阪大学 2024年理系第2問: 数学C/平面ベクトル

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