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確率の公式・定理・考え方

確率は、公式を使う前に「何を同様に確からしいものとして数えているか」を固定する分野です。入試問題解析では、1966年度〜2026年度の確率系535問を分類しています。関連して出やすい分類は、数学A/場合の数314問、テーマ/場合分け262問、数学B/数列223問、テーマ/漸化式127問、数学B/確率分布・統計的推測94問、テーマ/最大・最小69問です。

基本公式

内容	公式	使いどころ
確率の基本	$P(A)=\frac{A\text{が起こる場合の数}}{\text{全体の場合の数}}$	同様に確からしいとき。
余事象	$P(\overline{A})=1-P(A)$	少なくとも1回、少なくとも1個。
和事象	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	重複する事象の処理。
条件付き確率	$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$	条件が分かった後の確率。
乗法定理	$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$	段階的な試行。
独立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	互いに影響しない試行。
反復試行	$\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$	成功確率 $p$ を $n$ 回繰り返す。

入試での使い方

最初に全体を数える方法を決めます。順序を区別するなら順列、区別しないなら組合せ、時間順に状態が変わるなら樹形図や漸化式です。余事象は「全部を直接数えると場合分けが多い」ときに使います。

確率漸化式では、時刻 $n$ の状態を分け、次の試行でどの状態へ移るかを書きます。状態の分け方が粗すぎると漸化式が閉じません。必要なら数列の漸化式処理と合わせて確認してください。

失点しやすい点

分母の全体を途中で変えてしまう
余事象の方が簡単な問題を直接数えて複雑化する
独立でない事象に $P(A)P(B)$ を使う
条件付き確率で、条件後の全体を取り違える
確率漸化式で状態の分け方が足りない

この公式集と一緒に見る問題

一橋大学 2026年文系第5問: 数学B/数列、数学2/図形と式、テーマ/漸化式
京都大学 2025年理系第6問: 数学B/数列、テーマ/漸化式
九州大学 2025年理系第5問: 数学2/複素数と方程式
大阪大学 2025年理系第5問: 数学B/数列、テーマ/漸化式
東京大学 2025年文系第3問: 数学B/数列

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