常微分方程式の解の存在は実数の完備性だけから従いルベーグ積分は必要ない.
常微分方程式の初期値問題
y^{(n)}=f(x, y, y',…, y^{(n-1)}), \,y^{(i)}(x_0)=y_{i0}
をD=(x_0-\delta, x_0+\delta)×\Pi_{i=1}^{n-1}(y_{i0}-\delta/, y_{i0}+\delta)で解く. f: \overline D\to \Rは連続かつ或るL\gt 0が存在してy_iについてリプシッツ連続(接平面があれば傾きが有界)
|f(x, y_i)-f(x, y_i')|\le L\max_i |y_i-y_i'|
とする. さらにL\delta\lt 1を仮定する.
y_0\in D, y_{i, n+1}(x)=y_{i0}+\int_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}f(x, y_n(t))dt, \varPhi y=y_{n+1}
とすると\varPhiは
\overline y_{i, n+1}(x)=y_{i0}+\int_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}f(x, \overline y_n(t))dt, \varPhi \overline y=\overline y_{n+1}と上との差の絶対値(最大値ノルム)を求めたらわかるように|\varPhi y-\varPhi \overline y|\le L\delta |y-\overline y|から縮小写像であり, バナッハの不動点定理(縮小写像の原理)から上の微分方程式には一意的な解がある.
