https://ccrma.stanford.edu/~dattorro/EffectDesignPart1.pdf

0 はじめに（INTRODUCTION）

本論文は、電子音楽産業におけるデジタル・オーディオ・エフェクト分野のための参照資料として役立つことを目的としている。
対象読者は、デジタル信号処理（DSP）のこの専門分野に新しく取り組む人々であり、学習初期の段階から技能レベルを高めることを意図している。

ここで取り上げるエフェクトは、最も頻繁に要求されるものであり、したがって有用なツールボックスとなるはずである。
選択されたアルゴリズムはいずれも基礎的な性質を持っており、そのため広範かつ頻繁に応用可能である。
内容としては、

リバーブ（残響）1種
フィルタ 2種
ディレイライン補間法 2種
コーラス（およびビブラート、フランジャー）1種
正弦波発振器 4種
ノイズ生成 1種

を含んでいる。

本論文は、最初から順番に読む必要はない。全体の文体はチュートリアル調であり、概念の理解を重視している。
付随する数学的説明は、アルゴリズムが解析可能な場合にはある程度深く踏み込んでいるが、読者が必ずしもそこまで理解する必要はない。場合によっては、結果だけを知っていれば十分である。
数学的議論は、概念を発展させ、結論を厳密に正当化し、また問題に直面した際の助けとなるために用いられている。
もちろん、最良の学習方法は、実際にアルゴリズムを試し、自分自身のものを発明することである。

本論文におけるハードウェアの基準は、24ビット2の補数固定小数点DSPチップ［1］であり、通常は48ビット幅の積和演算（アキュムレーション）を備えている。しかし、これらのアルゴリズムは一般的なパーソナルコンピュータ上でも問題なく動作する。
それにもかかわらず、本論文に含まれる数学的議論の多くは有限精度演算が与える影響を扱っている。これは、出力信号にノイズが多い、あるいはザラつき（グリット感）があるといった苦情が寄せられたときに、必ず考慮しなければならない問題である。

最も頻繁に要求されるエフェクトは、コーラスとリバーブ（残響）である。
リバーブは、リスナーの知覚において音に空間的な広がりを与える。本論文で提示するリバーブは、良好な音質の残響として主観的要件を満たすものの中で、我々が見いだした最小の再帰ネットワークである。このリバーブについては、詳細な数学解析は行わない。というのも、このアルゴリズムは試行錯誤によって開発されたものであり、いじりながら理解するのが最良だからである。
また、調整ノブの数が少ないため、それぞれのパラメータが音に与える影響を容易に聞き分けることができる。

音楽用途のフィルタ設計には、標準的なデジタル信号処理（DSP）の教科書で教えられる内容とはやや異なる考慮点が存在する。最も顕著な違いは、オーディオフィルタは一般に勾配が緩やかであるため、振幅応答における「半パワー・エクスカーション（半減衰量）」という考え方が重要になる点である。
本論文では、演奏者の視点から操作しやすい2次のノッチフィルタおよびレゾネータについて、簡潔かつ正確な設計式を導出する。

これら2種類のフィルタを統一的に扱う枠組みとして、Regalia–Mitra トポロジが導かれ、パラメトリック・イコライゼーションを容易に実現できるようになる。
さらに、同じ単純化の考え方を、ミュージシャンに広く使われている2次のオールポール・フィルタにも適用する。このフィルタは、ワウワウ効果から動的ノイズ除去に至るまで、非常に幅広い用途に用いられている。

音楽用フィルタリングの章は、最終的に、その代表的フィルタを独自に実現したもの――多用途で低ノイズな Chamberlin フィルタ構造へと到達する。これは、Moog の電圧制御フィルタ（VCF）のデジタル版に相当するものである。

本論文では、ディレイ変調の手段としての線形補間を詳細に検討する。
変調されたディレイラインは、多くの標準的なオーディオエフェクトの基盤を成している。しかしながら、線形補間処理に本質的に伴うフィルタリングの副作用は、しばしば見過ごされがちである。
そこで本論文では、**オールパス補間（allpass interpolation）**と呼ぶ代替手法を提案する。この方法は、状況によっては線形補間の欠点を回避でき、非常にアナログ的な音質を得ることができる。特に、コーラス効果はこの補間手法によって良好に実現される。

コーラス効果は、ほぼ同一の音源が複数存在する状態を模倣するものである。
そのうち、2つの音源（原音を含む2ボイス）のみをエミュレートする場合を、我々は業界標準のコーラス効果とみなす。この効果は知覚的に非常に心地よいが、言葉で説明するのは難しく、完全に理解するためには実際に体験する必要がある。

正弦波発振器は、ほぼすべてのオーディオエフェクトの内部に存在している。
発振器は音そのものを生成することもできるが、多くの場合、何らかの変調処理を制御するために用いられる。ディレイ変調は、優れたリバーブ設計における重要な要素である。
いくつかの簡単な命令を書くことで、正弦波を生成するための簡潔なアルゴリズムを設計する方が、テーブル参照を用いるよりも容易である。さらに、アルゴリズムによる生成方法は、より純度の高い正弦波を得られるという利点もある。
本論文では、いくつかの効率的な正弦波生成手法を検討し、それらの選択を助けるための指針を提示する。

一見すると正弦波生成とは正反対に思えるノイズ生成についても論じる。
ここでは、非常に単純な最大長擬似乱数（maximum-length）ノイズ生成器を、心地よく落ち着いた音源として紹介する。この単純な回路は、擬似乱数の1ビット列を生成するだけでなく、擬似乱数からなるマルチビット値の列も出力し、それぞれが1周期につき1回しか繰り返されないという特性を持つ。
その周期長は、人間の耳がパターンを識別できる時間を容易に超えるように設計可能である。

これらの回路に関する古典的な文献によれば、1ビット擬似ノイズ系列の自己共分散はクロネッカーのデルタ関数になることが示されている。したがって、1ビットノイズは無相関であり、スペクトル的に白色である。
しかし、マルチビットの場合には、これは近似的にしか成り立たない。擬似ノイズ系列の中には、短時間持続する指数的なパターンが観測され、そこに相関が存在することが明らかになる。そのため、この回路によって生成されたマルチビットノイズのパワースペクトルは、イコライゼーションを施さない限り、完全な白色にはならない。

本論文では、マルチビット擬似ノイズ系列が、1ビット系列に対する線形FIRフィルタリングとして正確にモデル化できることを示す。これにより、一様振幅分布を持つマルチビット系列のパワースペクトルが既知となり、それに対する簡単なイコライゼーション手法を提案する。

1 リバーブレーション（REVERBERATION）

デジタル・リバーブは絵画のようなものである。無数に存在し、そのすべてが異なる色合いを持っている。なぜなら、どの部屋にも同じ絵を飾りたい人はいないからである。
エンジニアが夢見る「万能リバーブ」は、おそらく永遠に実現されないだろう。人工残響に関する論考を書こうとすれば、容易に何巻もの書物が必要になる。

かつては、これらのリバーブ・ネットワークは（バッハのフーガのように）解析が極めて困難であったため、実験によって発明されるのが常であった。
その理由は、最も効率的なリバーブ実装でさえ、巨大なグローバル再帰ネットワークの内部にオールパス回路を組み込んでいるからである。

オールパス回路単体でも、数百サンプルに及ぶ再帰ディレイを持つ一方、大規模な再帰ネットワーク全体を一周する累積ディレイは、数万サンプル規模に達することがある。

これらの複雑なネットワークを商業的に成功させた初期の発明者は、David Griesinger と Barry Blesser である。しかし残念ながら、彼らはこの分野について多くを書き残してはいない。
一方で Moorer と Gardner は、この分野をより科学的なものへと発展させた。Moorer は、Schroeder による先駆的だが粗削りな研究を洗練させ、Gardner はリバーブ設計技術の発展についての技術的な年代記を提供するとともに、フランスの前衛的研究者 Jot の業績の完全な翻訳の概要も提示している。²

本論文では、ここで提示するプレート・エミュレーション用リバーブ・ネットワークの発展過程を完全に理解するための背景資料を十分に提供しているわけではない。読者には、参考文献［2］〜［9, pp.1–28］を参照することを勧める。

1.1 単純なリバーブ・ネットワーク

図1は、残響を生成するためのある特定のネットワーク構成を示している。
我々がこのトポロジを好む理由は以下のとおりである。

入力および減衰拡散（デコリレーション）、減衰率、高域ダンピング、入力信号帯域といった、残響音の特定の側面を容易に制御できるシンプルなノブを備えている。

このトポロジは、既知の多くの構造よりも計算効率が高い。

非常に幅広い信号ソースに対して有効であることが実証されている。

我々が図1のネットワークを取り上げたのは、音質が良好であるにもかかわらず、メモリ量と構造の両面で最小規模のリバーブ・ネットワークであると判断したからである。
もっとも、このようなネットワークには無限とも言える多様性が存在すると我々は考えている。
そこで当然生じる疑問は、なぜこのような単純なデジタル・ネットワークが、これほど説得力のある残響を生み出すのか、という点である。これに対して我々ができる答えは、定性的なものに限られる。

たとえば、バイオリンの弦をはじいた音を考えてみよう。そのエンベロープは、整然とした指数減衰を示すと表現できる。この性質こそが、非残響音を識別する主要な手がかりの一つであると考えられている。
これに対して、その音を残響処理すると、弦のエンベロープや位相がランダム化され、より凹凸があり、長く、拡散した、動的な減衰が生じる。

このような過度に単純化された定性的説明でさえ、実際には初期の商用製品に取り入れられていた。DSP チップがサンプラー型シンセサイザに統合されるはるか以前、残響付きサンプル音は、再生時に付加されるエンベロープをランダム化することで、録音されたドライサンプルの減衰特性を変化させることによって擬似的に生成されていた。
この方法は決して完全に説得力があるものではなかったが、この種の聴覚的手がかりは1960年代初頭にベル研究所で行われた Schroeder のディレイラインを用いた先駆的研究の前提に対して、先人たち［3］–［5］が疑問を投げかけるきっかけとなるには十分であった。

Schroeder の研究［7］から推論できることとして、理想的な「無色（colorless）」な残響を達成するためには、ネットワーク内の固有音（eigentone）⁴ の密度が 1 Hz あたり約 3 に近づく必要がある。
また、実現可能な固有音の数の上限は、ディレイラインに割り当てられた総メモリ量に比例すると理論的に考えることもできる［4］。⁴ ここでいうネットワークの固有音とは、回路の共振を指す。

現在の我々の視点から見れば、20〜24 kHz 程度という低いサンプリング周波数であっても、物理空間のエミュレーションは十分に説得力をもって行えることがわかっている。
これは、高周波数帯域では通常、音響的吸収が急速に進むこと、そして最終的な出力がドライ信号とのミックスとして用いられることが理由である。
この帯域幅を前提とすると、およそ 30,000 個の固有音が必要となり、結果として約 64K ワードのディレイライン・メモリが要求される。
しかし、1960年代当時において、この規模のメモリは経済的に現実的ではなかった。⁵

リバーブ設計において、「ディレイライン・メモリは多ければ多いほど良い」［4］という一般的な経験則は確かに存在する。しかし、図1に示した効率的なリバーブ・ネットワークは、Schroeder が提唱した固有音密度の基準（約 88K ワードのメモリを予測）が、絶対的な規則ではないことを示す実例⁶である。
少なくとも同程度に重要なのは、減衰過程のデコリレーション（相関の低減）と、それに伴うエコーの時間密度である。すなわち、固有音密度とエコー密度とのバランスを取ることが不可欠である。

.2 音色（Color）

一方で、我々のリバーブ・ネットワークの信号応答は、無色ではない。
経験的に見ると、最も人気のある商用リバーブのいくつかは、周波数応答において多少なりとも「色づけ」されていることがわかる。
これは、それらの出力が入力信号に対して、はっきりと知覚できる共振を付加していることを意味する。その結果として、ある特定のリバーブを好む音楽家や録音エンジニアと、好まない人が同数程度存在するという状況は、決して珍しくない。

また、物理空間を正確にエミュレートすることを望まない録音エンジニアも存在する。その理由は、反射密度が十分に立ち上がるまでに時間がかかりすぎるからである。
その代わりに彼らは、瞬時に高密度な反射が得られ、エンベロープが滑らかな指数減衰を示し、位相の尾部のみがランダム化されている残響を求めることがある。

このような要求を最もよく表しているのが、**本論文で提示する「プレート系リバーブ」**である。

1.3 リバーブレータの考察（Discussion of the Reverberator）

図1に示されたリバーブのトポロジを詳しく見ると、この構造は、4段の入力ディフューザ（ラティス構造）を直列に配置した部分と、それに続くさらに4段のタンク用ディフューザから構成されていることがわかる。後者は、グローバルなフィードバックを形成するように相互接続されている。
最初のディフューザ群は、入力音を素早くある程度デコリレート（相関低減）し、その音を、後段のディフューザ群によって形成される保持タンクの中で無期限にループさせるための前処理を行う役割を持つ。
我々が最終的に耳にする音は、**タンク内部の複数箇所に配置された多数の出力タップ（図には示されていない）**から取り出された信号である。

1.3.1 入力ディフューザ（Input Diffusers）

すべてのディフューザは、ラティス構造を持つオールパス・フィルタである。
4段の入力ディフューザの目的は、入力信号がタンクに到達する前に、素早く相関を低減させることにある。このような前処理を行わない場合、タンク内での再循環が、強い周期的イベントとして知覚されてしまうことがある。
この機能は、特に打楽器音を自然にリバーブ処理するために極めて重要である。

この処理は、入力波形のピーク感や顕著な特徴を抑えるための、信号位相のランダム化と考えることができる。
ディフュージョンがゼロの状態とは、オールパス係数が 0 の場合に相当する。一方で、係数の絶対値が 1 に近づくと、**そのオールパス・フィルタに局在したブザー音（buzzing）**が発生する。
オールパス・フィルタにおける最適なディフュージョン量は、係数の極端な値ではなく、0.5 付近に近い領域に存在する。
表1に示されたプリセット値は、試行錯誤によって決定されたものである。

1.3.2 タンク（Tank）

図1において、下側に配置された4つのディフューザが再循環している部分を、我々はリバーブ・タンクと呼ぶ。
この名称は、入力された音をグローバルな「8の字」ループの中で循環させ、内部に閉じ込めるという役割に由来している。

4つの減衰係数（decay coefficient）は、残響の減衰速度を決定する。
これらの係数を 1.0 に非常に近い値に設定し（かつタンク内部のダンピング・フィルタを無効にすると）、音は無期限にタンク内に保持され続ける。
それ自体は興味深い効果であるが、タンク内で音が変化（メタモルフォーゼ）しない限り、我々はそのループパターンを容易に聴き取ってしまう。

したがって、タンク内に配置されたディフューザの目的は、再循環の中に生じる聴覚的なパターンを除去することにある。
ただし、タンク用ディフューザは常に成功するわけではなく（信号に依存する）、全体として指数減衰を実現するためには、その設定が極めて重要である。最終的には、すべて耳で調整する必要がある。

要約すると、タンクとは、すでに述べたように、減衰していく音のテイル（残響尾部）を変化させることを目的とした単純な装置である。
タンク用ディフューザはさらに、「decay diffusion 1」および「decay diffusion 2」というノブによって制御される2組のペアに分類されている。
これらのディフューザは機能的に重なり合っており、ここで行っている区別は聴感上は微妙なものである。この違いは、ステレオのタンク入力に対して、信号の立ち上がりから見て“いつ”拡散が起こるか、という時間的位置関係に関係している。

これらのノブの効果は、打楽器的な入力音、あるいは Griesinger が「ピンク・クリック」と呼ぶ信号⁷を用いると、最も観察しやすい。

1.3.3 オールパス・ラティス構造（All-Pass Lattice Topology）

各ディフューザには、2乗算器からなるラティス構造が採用されている。
図1のリバーブ回路図に示されている8個のラティスは、このリバーブ効果の中でオールパス・フィルタとして使用されており、それぞれが非常に長いインパルス応答時間を持っている。⁸
各ラティス内部の2つの係数は、オールパス伝達関数を維持するために必ず同一でなければならない。このオールパス特性は、係数量子化に対して鈍感である。
これらの係数の推奨範囲は 0.0 〜 0.9999999（q23；第3部・9.1節・付録7参照）である。
もしラティス係数が 1.0 を超えると、不安定性が生じる。
両方の係数を負の値にすると、インパルス応答の性質が変化する⁹が、オールパス特性そのものは失われない。この性質変化は、回路図中で「decay diffusion 1」と呼ばれているラティスにおいて意図的に利用されている。
この性質の違いは、**2組のタンク用ディフューザ間の対比（ディコトミー）**をさらに強調する効果を持つ。

オールパス応答とは、各ラティス出力が、それ自身の入力に対して示す強制応答（定常応答）を指す。¹⁰
リバーブ回路図内の各ラティスは非常に長いインパルス応答を持つため、場合によっては人間の聴覚系の積分時間定数を超えてしまう。
その結果、オールパス・フィルタの出力が、連続的ではなく離散的なイベントとして知覚されることがあり、すなわち「オールパス」として聴こえなくなる場合がある。

このオールパス・ラティス構造は、内部ノードで早期にクリッピングを起こしやすいという傾向がある。そのため、各ラティスへの入力には、すべての周波数においてフルスケール信号を与えることはできない。
それでも我々がこのオールパス・ラティスを好んで用いるのは、実装効率が非常に高いからである。

1.3.4 振幅トランケーション（Magnitude Truncation）

ラティス構造は、入力信号が取り除かれた後でも、低レベルの明確な音程を持つ音を生成することがある。これは **ゼロ入力リミットサイクル（zero-input limit cycle）**として知られている。
これらの音の起源は、再帰構造における継続的な信号量子化にある。

このような自発的な音は、**倍精度で計算された中間結果を、単精度またはそれ以下の精度のディレイライン・メモリに書き込む際に、振幅トランケーション（ゼロ方向への丸め）**を行うことで除去できる（第3部・9.2節・付録8参照）。
振幅トランケーションは、ラダーやラティスで構成されたデジタルネットワークにおいて、リミットサイクルを抑制する手法としてよく知られている［9］。

振幅トランケーションが必要なのは再帰回路のみである。図1において、プレディレイへの書き込みには振幅トランケーションは不要である。
ディレイライン・メモリのビット幅が 24ビットであれば、16ビットの場合と比べて、振幅トランケーションの必要性は明らかに低くなる。

特に、ラティスまたはラダー型オールパス回路を用いたリバーブ・タンク構造においては、振幅トランケーションによって、入力信号が除去された後のネットワーク・ノイズフロアを 12〜24 dB 低減できる。
その理由は、支配的なノイズ発生メカニズムが ゼロ入力リミットサイクル振動¹¹であり、それが多数重なることで、「ザザーッ」という海鳴りのようなノイズフロアとして知覚されるためである。
振幅トランケーションを行うと、リバーブの出力は最終的に2の補数表現における完全なゼロへと収束する。

ただし、その欠点として、**定常正弦波を線形リバーブ・ネットワークに通した場合の THD+N（全高調波歪＋ノイズ）**が、0〜6 dB 程度増加する可能性がある。

1.3.5 一次フィルタ（First-Order Filters）

入力信号の帯域制御およびリバーブ・タンク内のダンピングに用いられている 3つの単極（一次）ローパスフィルタは、**直接形 I（direct form I）**で実装した場合、いかなるノードにおいても早期クリッピングを起こさない［11, 第11.3章］［12, p.857］。
ダンピング・フィルタは、低域よりも高域の方をタンク内でより速く減衰させる役割を果たす。

入力帯域制御フィルタにおいては、bandwidth 係数がカットオフ周波数を追従する。一方で、ダンピング・フィルタでは、カットオフ周波数が低いときにダンピング係数が大きくなるという関係にある。
これらの係数の推奨範囲は 0.0〜0.9999999（q23；第3部・9.1節・付録7参照）である。

これらはいずれも一次ローパスフィルタであるため、仮に低レベルのゼロ入力リミットサイクルが生じたとしても、その周波数は DC（直流）成分となり、ラティス構造のように可聴トーンを生むことはない［11, 第11.5章］。
また、これらのフィルタ自身によって生成される信号トランケーションノイズのパワースペクトルは、極（ポール）の周波数に従うため DC に集中する。
通常、この単一の極は単位円から比較的離れているため、ノイズパワースペクトルのピーク利得はそれほど大きくならない。¹²

1.3.6 出力タップ点（Output Tap Points）

疑似コードからわかるように、ステレオ出力信号 YL および YR を形成するディレイラインのタップ構造は、完全に wet（残響のみ）の信号である（表2参照）。
このような出力タップ構成は、プレート・エミュレーション系リバーブネットワークに特有のものである。¹³

また、このトポロジでは、ステレオ入力がリバーブ入力段でモノラル信号に変換されるため、出力タップ構造によって人工的なステレオイメージが生成される点にも注意が必要である。
通常、最終的に望まれる出力は、ステレオのリバーブ信号 YL・YR と、元の（ドライでフル帯域の）ステレオ入力信号 xL・xR をミックスしたものである。

1.3.7 ディレイ変調（Delay Modulation）

図に示された 2本のディレイラインに対して、線形補間、あるいはそれ以上に望ましい方法として オールパス補間（第2部・第5節参照）を用いることで、名目上のタップ位置を非常にゆっくりと変調することができる。
わずかな変調であっても、タンク内にうねるようなピッチ変化が導入される。
ドラムセットのように高周波成分を多く含む信号に対しては、これらの内蔵モジュレータが、非常に目立つ定在モードを崩す効果を持ち、結果としてタンクの拡散量が実質的に増加する。

空気の流れや温度変化といった要因を除けば、実在の部屋にはこのような変調過程に対応するものは存在しない（壁が動いていない限り）。
この変調を行わない場合、本デジタルネットワークがエミュレートする仮想空間は、**「杭柵（picket fence）に囲まれた空間」**のように表現できてしまう。
ゆっくりとした変調は、タンク内の共振（固有音・振動モード・杭の密度）を実質的に増加させる役割を果たす。
実際の部屋、ホール、あるいはプレートに存在する共振の数は、この小規模な（非変調）リバーブ・ネットワークに存在するものより、はるかに多いと考えられる。

ドラムセットの場合、この変調は**非常に有効（まさに天の恵み）**である。一方、ピアノの場合には、ごくわずかな変調であってもビブラートとして知覚され、好ましくない場合がある。

理想的には、タンク内のすべてのディレイラインを、それぞれ異なる変調レートと変調深さで変調すべきである。そうすれば、拡散の負担が分散され、各ディフューザに必要な変調量はより小さくて済む。
計算時間に制約がある場合には、タンク内で最も早い位置に現れるステレオ・ディフューザのペアを優先的に選択するのが望ましい。これは、実効的な共振数の増加を最大化するためである。

この場合、各ディフューザには同一の変調レートと深さを用いるが、直交位相（quadrature）発振器を使用して相関を低減している（正弦波発振器については第7節で述べる）。
さらに、各ディフューザのディレイライン長が異なることも、相関低減に寄与している。

第4節で説明するように、線形補間によるディレイ変調は、時間変化するローパスフィルタリングを副作用として導入し、タンクに対して想定外のダンピングを与えてしまう。
オールパス補間はこの問題を解決でき、しかも要求されるピッチ変化が**微分音程（microtonal）**であるため、リバーブ用途に完全に適している。¹⁵

1.4 結論（Conclusion）

特定の用途に対して特定のリバーブを選択することはごく一般的であり、ある特定のアルゴリズムを手に入れるためだけに、オーディオ信号処理装置を購入する業者も存在することが知られている。¹⁶
ある段階において、リバーブの選択は芸術と同様に、好みの問題となる。
すべての用途に対して、すべての人を満足させる万能なリバーブ・ネットワークは存在しないし、将来においても存在しないだろうと我々は考えている。

1.5 付録1：リバーブにまつわる回想（Reverberation Recollections）

親愛なる Jon へ

あなたが書いた内容は素晴らしいものでしたが、それによって、さらにいくつかの断片的な記憶が呼び起こされました。使いたい部分があれば、自由に使ってください。

1970年代後半、私は Manfred Schroeder と個人的に会話をする機会があり、彼のリバーブ論文の一つに出てくる
「maximal incommensurate（最大限に非可換な）ディレイ値」
という表現について質問しました。彼の答えは非常に興味深いものでした。以下は、疲れた私の記憶に基づく要約です。

我々は、面白そうだったから電子リバーブを作っていた。
10秒分のリバーブを計算するのに、ほぼ丸1日かかったので、音楽サンプルは1つしか処理しなかった。
ディレイ時間の選択については、数学的な根拠はなく、単にたくさんの数値を適当に選んだだけだった。
ただ、それが可能であることを証明したかっただけだ。

彼は、この仕事を、自身のより深い数学的・知覚的研究――特に、1Hzあたり3固有音が必要であるという理論や、ランダムな物理空間における周波数・位相統計に関する研究――とは結びつけて語ることはなかった。

初期の **EMT デジタル・リバーブ（モデル250）**は、32 kHz のサンプリング周波数で動作し、8Kワードのメインメモリしか持っていなかったが、必要とされる固有音密度は、ディレイラインをランダム化することで完全にエミュレートされていた。

もう一つ興味深い事実は、オールパス構造を用いた「無色」リバーブは、知覚的には無色ではないという点である。
ホワイトノイズであっても、オールパスを通すと本物のホワイトノイズには聞こえない。
さらに多数のオールパス構造を通過させると、それはランダムノイズというより機械工場の音のように聞こえる。
それでも、スペクトル測定上はフラットである。
その理由は、周波数成分が時間的に束ねられてしまうからである。
これは、レーダーで用いられるチャープ正弦波が、完全に平坦なスペクトルを持ちながら、ホワイトノイズとは全く異なって聞こえるのと非常によく似ている。

オールパスから得られる2次以上の統計量は、真のランダム過程とは大きく異なる。
オールパスの有用性は、すべての周波数を通過させることで、各オールパスが同一のスペクトル密度を見ることができる点にある。そうでなければ、コムフィルタのピークが整列して支配的になってしまう。
オールパスでない要素を並列に配置した構造でも、同様に、各構造がフルスペクトルを受け取るという点では同じ効果が得られる。

オールパス要素は、ディレイ時間が短い場合に特に重要である。
一方、大きなループの中に配置されたオールパスは、非常に注意深く用いなければならない。なぜなら、群遅延が正弦波状に変化するため、実効的なループ時間およびリバーブ時間が周波数によって変動してしまうからである。
その結果、ループを何度も回るうちに、非常に色づいた音になってしまう。

Schroeder はリバーブについていくつもの解析を行っていたが、彼の 「1Hzあたり3固有音」理論（これは約3秒分のメモリに対応する）は、さまざまな見方ができる。
この結果は、聴取テストに基づく経験的なものであった。

たとえば、実部が −10 Hz の s 平面上に、1 Hz 間隔で配置された2つの固有音（極）を考える。
これを励起すると、1 Hz 異なる2つの減衰正弦波が生じ、その結果として1 Hz のエンベロープ・ビートが発生する。これは明確に聴き取れる。
ここにさらに、ランダムに配置された固有音を10個追加すると、それらが互いにビートを生じ、0〜10 Hz にわたって粗くフラットなスペクトルを持つランダムなエンベロープが生成される。
このシミュレーションは、各固有音の励起量を変えれば、閉形式で計算することも可能である。

Schroeder の結果は、名目上のリバーブ時間に依存している。なぜなら、それが狭帯域入力によって励起される固有音の数を決定するからである。
初期のリバーブ装置では、リバーブ時間が150 ms程度しかなく、通常はごく少数の固有音しか励起されなかった。
そのため、エンベロープには平均して6 Hz程度の明確な周期性が現れ、音としては良くなかった。
ある周波数帯域では、2 Hz 間隔で2つの固有音しか励起されないこともあり、これはさらに悪かった。
当時はメモリが極端に限られていたため、開発は非常に困難でありながら刺激的でもあった。

今日では、1秒分の DRAM メモリを容易に使用できる。そのため、より単純な構造であっても、良好なリバーブを生成できる。

知覚的シミュレーションは、多くの点で物理的現実とは異なっている。
たとえば、自然な三次元空間では、固有音密度は周波数の2乗に比例して増加する。
一方、電子的シミュレーションでは、固有音密度はほぼ一定である。
これは、三次元空間では、各方向における音速成分が波面方向の正弦に比例するのに対し、電子回路では常に一定であるためである。

以上が私の記憶のすべてです。どう扱うかはお任せします。
健闘を祈ります。

2 音楽的フィルタリング（MUSICAL FILTERING）

一次の再帰フィルタは、圧倒的に最も安全で、かつ経済的な選択肢である。
ノイズが少ないため、可能な限りこれを使用すべきであり、必要であれば直列（カスケード）接続して用いるのが望ましい。
通常一次で構成されるシェルビングフィルタの設計については、文献［13］を参照されたい。
より急峻な遷移帯域を持つフィルタが必要な場合でも、通常は2次フィルタを用いれば十分である。
音楽用途のフィルタで、2次を超える次数が用いられることは稀である。¹⁷

本節では、電子工学者とは大きく異なる基準を持つ音楽家のためのフィルタ要件について論じる。
ここでのフィルタの取り扱いは、2次フィルタに限定し、主としてオールパス構造を扱う。
これらのフィルタの応用範囲は広く、特にパラメトリック・イコライゼーションに適している点を指摘しておく。

量子化ノイズの再循環という、より複雑な話題については本節では扱わないが、リミットサイクルや内部信号のオーバーフローについては言及する。
より深く知りたい読者は、直接形 I 構造における量子化ノイズ対策について文献［12］を参照されたい。

デジタルフィルタに不慣れな読者には、DSP および電子音楽分野の著名な理論家・実践家・教育者である Julius O. Smith による、古典的デジタルフィルタ理論の優れた入門書［15，第2章］を強く勧める。これは基本的な数学知識だけで理解できる。
また、Strawn のオーディオ信号処理の書籍［15］は音楽家の視点で書かれており、非常に推薦できる。

2.1 フィルタ（O）の選択度（Selectivity）

電子工学者は、デジタルフィルタを
極零点配置、軌跡、カットオフ周波数、通過帯域リップル、遷移帯域（または傾き）、阻止帯域減衰
といった解析的な観点で考えることに慣れている。

一方、音楽家や録音エンジニアは、
ゲイン（ブースト／カット）、中心周波数、フィルタ Q（選択度）または帯域幅
といったパラメータで考える方が自然である。

形式的には、フィルタ Q は次の正の量として定義される：

すなわち、中心周波数を帯域幅で割ったものである。
帯域幅は、カットオフ周波数
および

（ラジアン単位）の定義によって決まる。

伝統的には、カットオフ周波数は絶対的な半パワーレベルに対応する。
典型的な急峻なユニティゲイン（0 dB）のローパスフィルタでは、これは
振幅二乗応答が −3.01 dB（= 10 log₁₀(1/2)）に達する周波数
として知られている。

しかし、勾配の緩やかなオーディオ用フィルタでは、絶対的な半パワーレベルを持たない場合がある。
そのため、カットオフ周波数の定義を、絶対レベルではなく「半パワー・エクスカーション」に基づいて再定義する必要がある［16］。

半パワー・エクスカーションの定義

例として、図2に示されたカットフィルタの振幅二乗応答を考える。この例では Q = 2 である。
音楽的な2つのカットオフ周波数は、次の条件を満たすレベルとして定義される：

この方程式を
ω について解くと、2つの解
が得られる。
図2を参照すると、この定義は、振幅二乗応答の谷の深さのちょうど中間点で帯域幅を測ることを意味している。
これは直感的にも妥当である。

この例では谷が十分に深くないため、従来のカットオフ周波数の定義は使えない。
ただし、もし

（ノッチフィルタ）であれば、式 (2) の解は従来のカットオフ周波数定義と一致する。

レゾネータの場合

z=±1 において漸近的にユニティへ近づくのに対し、レゾネータは、中心周波数でピークゲインが1に正規化された2次のピーク型フィルタとして緩やかに定義される。

レゾネータは、対応するカットフィルタの振幅二乗応答を、半パワー・エクスカーション線を軸として上下反転させた形になるよう、容易に定式化できる。
つまり、両者は対称関係にある。
そのため、図3と図2に現れる数値の多くは完全に一致している。

レゾネータ（正確には正規化されたブーストフィルタ）については、次の式を解くことで、2つの音楽的カットオフ周波数

​を得る：

音楽的フィルタ Q の概念を理解したところで、次に進む。
ここからは、この選択度の定義に正確に適合する、2つの独特で音楽的に有用なデジタルフィルタの伝達関数を紹介する。

⁷ 2次を超える急峻なフィルタが必要な場合は、2次セクションのカスケードとして構成することが望ましい。これにより、係数感度や量子化ノイズの問題を緩和できる［11，第11.4–11.6章］［14］。

ピーク周波数における振幅は、正確に 1 となる。これらの動作が、出力に現れる一見奇妙な正規化係数の理由である。

制御係数 k の働きは 表3 にまとめられており、図10および図11の振幅二乗応答に示されている。
カット深さ［式 (11)］およびスカート深さ［式 (12)］は、それぞれ二乗して図10および図11と対応させる必要がある。

これらの深さに関する式は、式 (10) および式 (7) から容易に導出でき、中心周波数には依存しない。

中心周波数は、図10および図11に示された カット、ノッチ、レゾネータ、完全レゾネータの各フィルタに対して、式 (10) によって一意に定まる。
この中心周波数は、z 平面の単位円上で評価された振幅特性における、ピークまたは谷の極値に対応する。

図10および図11のプロットでは、縦軸は下側の半パワー・エクスカーション周波数​

に引かれている。
半パワー・エクスカーション周波数（すなわち 2つの音楽的カットオフ周波数）は、カット、ノッチ、レゾネータについて与えられている。

特定の中心周波数が与えられると、**オールパス・ラティスの係数 β［式 (14)］**が、これらの カット、ノッチ、レゾネータ、完全レゾネータ・フィルタの選択度（フィルタ Q［式 (1)］）を正確に制御する。¹⁸
一方、ラティス係数 γ は、式 (10) から分かるように 中心周波数
​

のみに依存するが、β は
​

と Q の両方に依存する。これは、音楽的カットオフ周波数の新しい定義［式 (2) および (3)］によるものである。

このように、2つのラティス係数を調整することで音楽的フィルタ・パラメータを制御できる、閉形式の数式関係を見いだせたことは、理論的には非常に有用である。
しかし制御の観点から見ると、一方の係数が中心周波数のみを、もう一方が選択度のみを制御する形に分離できることが望ましい（γ はほぼそれを満たしている）。
後に登場する Chamberlin フィルタ構造は、この理想に非常に近い。

2.4.1 Regalia の k 係数

文献［13］では、変数に対する単純な代数的置換を行うことで、レゾネータの代わりにパラメトリック・ブーストフィルタを得る新しい設計が可能であることが示されている。
この結果、レゾネータおよび完全レゾネータは失われる。

従来と同じトポロジを用い、図12(a) の係数は、図9の係数に対して次の置換を施すことで導出される。
さらに、k > 1 の場合に限り、出力にブースト係数 k によるスケーリングを行う。

図12(b) に示された回路の伝達関数は、図12(a) と完全に同一である。
出力側の係数を前方に移動させることで、他の係数が簡略化されている。

制御係数 k の働きは 表4 にまとめられており、図13の振幅二乗応答に示されている。
カット深さ［式 (16)］およびブースト量［式 (17)］は、それぞれ二乗して図13と対応させる必要がある。

これらの結果は、式 (15) を式 (11) および (12) に代入することで導出できる。
前と同様、これらの結果は中心周波数には依存しない。
図13の合成プロットは、カットフィルタとブーストフィルタの対称性、すなわち Q の対称性を強調している。

一般に、図9および図12のパラメトリック・フィルタは最小位相系である。
オールパス特性［式 (7)］から、中心周波数に依存せず次の関係が導かれる：

Regalia 型ブーストフィルタのスカートの絶対深さ = 1

図13でも、縦軸は再び 下側の半パワー・エクスカーション周波数（下側の音楽的カットオフ周波数​）に引かれている。
ブーストフィルタの2つの音楽的カットオフ周波数
​

は、レゾネータの場合［式 (3)］とはわずかに異なる 式 (19) を用いて導出される。

ただし、結果は以前と同じであり、式 (13) は引き続き有効であることが示される。
式 (3) と異なり、式 (19) は従来のカットオフ周波数定義には還元されない。これは、定義上がゼロにならないためである。

図9のネットワークから図12の Regalia の k 係数を導出しつつ、同一トポロジを保持できたため、ここまでに導出されたすべての式――すなわち

は、そのまま適用可能である。

2.4.3 実用におけるラティス・トポロジ（Lattice Topology in Practice）

これまでに述べた、オールパス・ラティスから構成されるフィルタ・トポロジには、実装上の欠点が2つある。

1つ目は、ラティス構造が、低レベルではあるが可聴なゼロ入力リミットサイクル音を自発的に発生させることである。
2つ目は、オールパス出力がフルスケールに達する前に、内部ノードで信号オーバーフローを起こしやすいという点である。²¹

問題1：リミットサイクル音への対策

最初の問題は、22個すべてのラティス用メモリ要素に対して振幅トランケーションを施すことで解決できる［9］。

問題2：内部オーバーフローへの対策

2つ目の問題は、ラティス入力信号をスケーリング（減衰）することで解決される。
この入力スケーリングは、すでに図9、図12、図14で示されている。

ただし、高Q設定や、深いカット／ブーストの場合には、内部での早期オーバーフローが依然として発生する可能性がある。
そのような場合には、ユーザーが調整可能な入力信号レベル制御を設ける必要がある。²³
その際、フィルタ出力側では別途、ユーザー制御による補償（ゲイン回復）が必要となる。

ただし注意すべき点として、出力を増幅するということは、フィルタ内部で発生する信号トランケーションノイズのノイズフロアも同時に増幅してしまう。
したがって、入力スケーリングは最小限に抑えるべきである。

オールパス・ラティスの代替案

オールパス・ラティスの代替として、直接形 I（Direct Form I）フィルタ構造を思い出そう。
直接形 I トポロジは、内部信号オーバーフローの問題を持たない。
その理由は、固定小数点実装において、単一のアキュムレータが事実上無限のヘッドルームを持つためである［12, pp.857, 875］［11, 第11.3章］［14, 第6.7.1節］。²⁴

図15には、2次オールパス・フィルタを、直接形 I の1次オールパス・セクションを内部に組み込むことで実装した例が示されている。²⁵
このトポロジは、ラティス構造と同じ音楽的フィルタ係数の二分性（中心周波数とQの分離）を保ちつつ、係数もまったく同一であり、かつ内部オーバーフローを回避できる。

ノイズ特性の比較

経験的に観察すると、直接形 I が生成するリミットサイクル音は、一般に、図7に示された対応するラティス構造よりもはるかに小さい。²⁶
さらに、**直接形 I においてトランケーション誤差をフィードバックする手法（図示せず）**は、リミットサイクル振動をさらに抑制することが知られている［18］。
この方法は、振幅トランケーションの代替手段として利用可能である。

ラティス構造および埋め込み型直接形 I のいずれにおいても、係数が 1 未満である限り、安定性は保証される。

2.5 付録2：文献に見られるフィルタに関する誤り（Filter Errata in the Literature）

2次デジタルフィルタの中心周波数に関して、文献中で長年にわたり誤りが踏襲されてきた。
複素共役なフィルタ極の極座標表現は、通常、正しく次のように書かれる。

（※極は「半径 R、角度 θ」で表される）

問題となる誤った仮定は、フィルタの正規化中心角周波数
を、極の角度 θ と同一視してしまう点にある。

この結果、中心周波数と極周波数（共振周波数）との区別が、文献中で曖昧にされてきた。²⁷

しばしば「Q が高い場合には、この違いは実用上ほとんど重要ではない」と主張されるが、この曖昧な同一視が、結果としてオーディオ分野において誤った理論的結論を広める原因となってしまった。

代表的な誤った結論の例

その代表例が、完全レゾネータの伝達関数は、任意の中心周波数に対して、単位円上で評価したときにピークゲインが正確に 1 にならない、という主張である。

この誤った証明では、極の半径 R を完全に無視し、極角 θ に対応する周波数で評価を行っている。
しかし、正しい中心周波数（式 (10) で定義されるもの）において評価すると、この結論が誤りであることが分かる。
すなわち、式 (5) で与えられる完全レゾネータは、常にピークゲインが正確に 1 になる。

極周波数と中心周波数の関係

極周波数と中心周波数の関係は、2次伝達関数の分母を、極の半径と角度で表した一般形と、完全レゾネータの分母を対応付けることで明確にできる。

その結果、次の事実が導かれる：

中心周波数と極（共振）周波数が一致するのは、極が単位円上にある場合のみ

しかしその場合、回路はフィルタではなく発振器になる

したがって、実用的な2次フィルタにおいて、中心周波数と極周波数は一般に一致しない。

一般化と補足

この結果は、一般のレゾネータにも拡張可能である。
同様の結論は、

2次オールポール型フィルタ

2次オールゼロ型フィルタ（図4のようなもの）

を調べることによっても得られる。

なぜ誤りが広まったのか

中心周波数と極周波数が一致する例外が一つだけ存在する。
それが 1次レゾネータの場合である。

1次の場合には、極半径 R に関係なく、中心周波数と極周波数が常に一致する。
この特殊なケースが、2次フィルタにおいても同じことが成り立つという誤解を生み、誤りが広まった原因である可能性が高い。

3 チェンバリン・フィルタ構造（CHAMBERLIN FILTER TOPOLOGY）

ここでは、異なるトポロジを用いた高品位な音楽用フィルタリング、すなわち音楽家向けのオールポール型ローパスフィルタを扱う。
これまでと同様に、カットオフ周波数を半パワー・エクスカーションとして再定義し、この新しい構造を以前の議論と結びつける。

音楽家向けのオールポール・フィルタは、電子音楽業界において長い歴史を持つ。²⁹
現在でも名機として知られるアナログ／デジタル・シンセサイザに広く使われてきた。
これまで扱ってきたフィルタは、伝達関数に**ゼロ（零点）**を含んでいたが、ここではそれとは異なる。

ここでの新たな目標は、
「各フィルタ係数が、中心周波数または選択度（Q）のどちらか一方だけを制御する」
という、非常に音楽的で扱いやすい制御性を実現することである。

そのために本節では、Chamberlin によるオールポール（2極）ローパス・フィルタ構造を、完全に離散時間領域の観点から再導出する。³⁰

ノイズ性能と「透明性」

Chamberlin フィルタのトランケーションノイズ特性が非常に優れていることは、実務者の間では長年知られてきた。³¹
ここではその理由を明確にする。その過程で、著者は新しい、より音楽的で保守的なノイズ性能指標を導入する。
これを **「透明性（transparency）」**と呼び、基準1とする。

一方、従来型の評価方法（基準2）では、

フィルタ出力に現れるトランケーションノイズ電力

入力信号の量子化ノイズ電力

を比較し、ノイズゲインとして評価する。

解析の結果、Chamberlin トポロジでは、
最悪条件におけるノイズゲインが、フィルタ全体のピークゲインの二乗に等しい
ことが分かる。
これこそが、このフィルタが非常に静かで透明に聞こえる理由である。

3.1 音楽家のローパス・フィルタの形状

電子工学者が設計するローパスフィルタは、

通過帯域が非常に平坦

阻止帯域にゼロを持ち、高い減衰を得る

という特徴を持つ。³²

一方、音楽家はピークを持つフィルタを好む。
たとえローパス用途であっても、レゾナンス（共振）を伴う特性が求められる。

音楽家が使うピーク中心周波数は通常かなり低いため、
極は単位円に近づき、遠方周波数では自然に十分な減衰が得られる。

そのため、ゼロはほとんど不要である。

しかしピーク中心周波数が高くなると、
オールポール型ローパスでは、阻止帯域の減衰が 3 dB にも達しないことがある。
さらに中心周波数が π/2 に近づくと、
DC よりもナイキスト周波数の方がゲインが高くなり、もはやローパスとは言えなくなる。

遷移帯域とカスケード

Chamberlin フィルタはオールポールであるため、
通過帯域から阻止帯域への遷移の急峻さを直接制御することはできない。

この問題への実用的な解決策は、
同一のオールポール・フィルタをカスケード接続することである。

音楽家が実際に使用する中心周波数範囲は、
通常のサンプリング周波数に対して十分低いため、
ナイキスト周波数にゼロを置いても効果は小さい。
そのため、ゼロを追加するよりカスケードの方が好まれる。

本節では、1段のフィルタのみを扱う。

フィルタ形状とカットオフ定義

期待される応答は、図16に示されるようなピークを持つローパス特性である。
ピーク中心を DC から離すため、少なくとも2次のフィルタが必要となる。
なお、このフィルタは DC でゲイン1に正規化されている。³³

ここでも再び、カットオフ周波数を半パワー・エクスカーションとして定義し直す必要がある。

通過帯域側のエクスカーション：
DC の値からピークまで

阻止帯域側のエクスカーション：
ピークからナイキスト周波数まで

振幅二乗応答は 2π 周期であることを考慮し、
図16には **半パワー点（音楽的カットオフ周波数）**が示されている。

これら2つの半パワー点が、
音楽家にとっての帯域幅を定義する。

3.2 伝達関数の構築（概要）

まず、ゼロを持たない2次伝達関数から出発する。
このため、これまでのフィルタとは異なる式が現れる。

ピーク中心周波数において、
振幅二乗応答は最大値に達する。

ローパス用途では、
DC におけるゲインが 1 になるよう正規化される。

半パワー点（音楽的カットオフ周波数）は、
前節と同様の考え方で厳密に求められる。

係数と音楽パラメータの関係

目標は、との関係を明確にすることである。

ピーク中心周波数については、
非常に単純な式で正確に決定できる。

一方、Q を制御する係数については、
完全な厳密式は得られなかったが、
実用上きわめて良好な近似式が得られている。

図17は、この近似が
中心周波数 0 〜 π/2 の推奨動作範囲で十分に正確であることを示している。

もし厳密式が得られていれば、
Q に対して完全に理想的な平面になるはずだが、
実際にはわずかな誤差が残る。
それでもこの近似は、音楽用途としては十分以上に良好である。

近似の精度について

近似式（式27）は、文献［26］〜［28］や［15］に見られる他の近似と比べても、はるかに良好な精度を持っている。
推奨される中心周波数範囲において、最大の相対誤差は Q = 1 の場合に生じ、その誤差は 約 21.8〜27.6% である。

3.2.1 近似（Approximations）

中心周波数と選択度（Q）をそれぞれ独立に制御できるフィルタ係数を得るという当初の目的を達成するため、ここではフィルタ係数に対して級数近似を行う。

理想的な係数から導かれるマクローリン展開（中心周波数が小さい場合の展開）を用い、

中心周波数に主に対応する項

Q に主に対応する項

を分離して扱えるようにする。

これらの級数は直感的に予測しにくく、実際には Mathematica による記号計算によって得られている。

図18には、この級数を途中で打ち切った近似を実装した音楽用フィルタ・トポロジが示されている。
この回路では、

中心周波数に対応する係数 Fc

選択度に対応する係数 Qc（ほぼ 1/Q）

が、ある程度分離して制御できるようになっている。

この近似回路では、

中心周波数側の級数から 3項

Q 側の級数から 2項

のみを用いている。
また、もとの近似自体が完全ではないため、
「Fc が中心周波数」「Qc が 1/Q に対応する」という関係は粗い近似ではある。

それでも後に示すように、音楽用途としては十分に独立した制御性が得られる。

回路構造と補正

図18の回路では、不要な遅延なしループを除去する必要があるため、分子に遅延要素が導入されている。
また、DC でのゲインが 1 になるように正規化が行われている。

係数 Fc のより洗練された近似は、文献［23］および［26］に基づくもので、
Q が高いほど正確になる。

中心周波数が低く、Q が高い場合には、
Fc は実質的に中心周波数そのものに一致する。

3.2.2 安定性とパラメータ分離

複素共役極を持つフィルタが安定であるためには、
極の半径が 1 未満であることが必要である。

これから導かれる条件により、
Fc と Qc の取り得る範囲が制限される。

解析の結果、

中心周波数の調整範囲は 0 〜 π

Qc には上限が存在し、過大な値を取ると安定性や周波数範囲が崩れる

ことが分かる。

すべての条件をまとめると、

Fc と Qc がそれぞれ 0〜1 の範囲に収まっていれば、
フィルタは安定で、かつ実用的なチューニング範囲を保てる

という重要な結論に至る。

これは、実装者にとって非常に扱いやすい性質である。

3.2.3 ピークゲイン

近似係数を用いた場合の実際のピークゲインを調べると、
おおよそ 1/Qc に等しいことが分かった。

最大の誤差は、

中心周波数が低く、Q が低い場合

中心周波数が高く、Q が高い場合

に生じる。

最悪条件では、
理想値より約 15.5% 大きなピークゲインとなる。

Chamberlin フィルタでは、
ピークゲインを直接制御するパラメータは存在しない。
ピークの大きさは、Qc（= 選択度）によって間接的に決まる。

音楽用途としては、
最大ピークゲインを 24 dB 程度までとするのが望ましく、
これは Qc ≈ 0.0625（Q ≈ 16） に相当する。

3.3 Chamberlin フィルタの性能評価

ここで問題となるのは、
これらの近似が実用上十分かどうかである。

通常の工学的手法であれば、
極の軌跡（ルートラーカス）を解析するところだが、
ここでは 音楽的観点からの評価を再び行う。

具体的には、

理想係数ではなく

近似係数（打ち切り級数）

を用いて、
中心周波数と Q の関係を調べる。

図19は、

実際のフィルタ係数

実際に得られる中心周波数

実際のフィルタ Q

の関係を示している。

理想的には完全な平面になるはずだが、
実際には Fc ≲ 1（中心周波数 ≲ π/3） の範囲では、
ほぼ歪みのない関係が得られている。

また、Qc（選択度制御）と Fc（周波数制御）は、この範囲では十分に独立している。
したがって、この領域では
理論と実装がよく一致することが期待できる。⁴¹

3.3.1 積分器の解析（Integrator Analysis）

一般論として、理想的なデジタル積分器を実装することは望ましくない。
ただし、その積分器に対して DC を遮断する零点が存在する場合は例外である。

図18の回路では、

積分器1：DC を遮断する零点があり、安全

積分器2：DC を遮断する零点がなく、注意が必要

という構成になっている。

理論上は、
積分器2の入力に DC 成分が到達しないことを証明する必要がある。

実際の DSP 実装では、

信号量子化

トランケーション

によって、あらゆるノードで DC 成分を含むノイズが生成される。

特に現代の DSP チップでは、
乗算器入力が倍精度を扱えないことが多く、
その結果として DC 成分を含む誤差が発生しやすい。

現代のDSPでは、アキュムレータ（累算器）は倍精度を扱える一方で、乗算器入力が倍精度を受け付けられないことが多い。したがって、そこで**トランケーション（切り捨て）**が起き、ノイズが発生する。
この高レートのノイズは、乗算器の手前に「仮想的な加算器」があるとみなして、決定論的なノイズ源として精密にモデル化できる。図20は、ノイズ源の一つ（e2）が積分器2へ向かう経路にこのモデルを適用した例である。

Chamberlin トポロジでは注目すべきことに、積分器2の入力には DC 成分を含む信号が決して現れない。
検証として、最も重要なケース――すなわち bp ノードの乗算器入力にあるノイズ源――を調べると、そこから積分器2への伝達は **DC で必ずゼロ（伝送零点）**を持つことが示せる。
他のノイズ源（hp、bpq、入力）も、積分器2へ到達するまでに、いずれも DC を抑える単純な零点（差分の形）を獲得する。

要するに、積分器2は DC を見ない設計になっている、というのがここでの重要な結論。

3.3.2 トランケーションノイズ：スペクトル基準（Criterion 1）

ノイズ解析の目的は、回路内部で生じるトランケーションノイズが最終出力にどう現れるかを知ることである。高忠実度の目標は次のように言える：

基準1（透明性）：
フィルタ回路が生成するトランケーションノイズが、出力において 入力信号の量子化ノイズフロア（白色と仮定）を上回らないこと。

つまり、フィルタが自分で作ってしまうノイズスペクトルのどの部分も、入力由来のノイズフロアより上に出てしまったらアウト。
この基準は、後に出てくる基準2よりも **保守的（厳しい）**で、この観点で問題ないフィルタは入力に対して “透明（transparent）” と呼ぶ。

ここで扱うノイズは「決定論的」なので、ノイズが回路の早い段で発生すると、信号と同様にフィルタリングされながら出力へ到達する。したがって、各ノイズ源からローパス出力への伝達特性が分かれば、周波数依存の増幅（どの帯域で持ち上がるか）を予測できる。

（例）内部トランケーションが 20-bit 相当のノイズレベルで起き、入力が 16-bit 相当の量子化ノイズだとすると、どれかのノイズ経路が 24 dB 以上のブーストを持つと基準1に違反する、という見積もりができる（1 bit ≈ 6 dB だから）。

図18の乗算器入力（hp、bpq、bp）には、それぞれトランケーションに由来するノイズ源がある。これら3つの寄与は次のように整理できる：

hp のノイズ源
hp→出力のノイズ伝達は、（符号反転を除けば）信号伝達と同じ。これは悪くないが、結果としてこのノイズ源が 出力で最も支配的になりやすい。

bpq のノイズ源
bpq→出力は、ピーク付近でも増幅が だいたい1程度に抑えられる。よって かなり良い（小さい）。

bp のノイズ源
bp→出力は、低域を抑える（DC を消す）形の項が入って、低域ノイズが抑えられる一方、高域側を持ち上げる副作用もある。
ただし高域ではローパスフィルタ本体が効いてくるため、結局このノイズ源の“中心”や“最大”は hp と同程度になる（特に高Qのとき）。

まとめると：

hp が主犯（信号と同じだけ増幅される）

bpq は無視できるくらい小さい

bp は hp に似た性質

この見積もりから、基準1の下では、最大ピークゲイン 24 dB（振幅で16倍）に対して、単精度パスに およそ5ビット追加が必要、という結論になる。

3.3.3 トランケーションノイズ：パワー基準（Criterion 2）

ここまでのスペクトル評価とは別に、もう一つの古典的な評価がある：

基準2（パワー）：
フィルタが生成するトランケーションノイズの出力でのノイズ電力が、入力の量子化ノイズ電力より小さいこと。

これは統計的（高レート）な見方で、典型的な「1bitあたり平均 -6 dB」という議論に対応する。
この基準では、内部ノイズが出力でどれだけ増えるか、いわゆる **noise gain（ノイズゲイン）**を計算する。

計算結果として、最悪のノイズパワー増幅は hp が支配し、

最悪条件（中心周波数が高く、Qが高い）で ノイズゲインが約10.78に達する

これは 約1.8ビット分に相当する

さらに bp、bpq など全ノイズ源を（無相関と仮定して）合算すると、最悪ケースで 約2.2ビット分。
したがって基準2では、望む忠実度を保つために 追加で3ビット程度あればよい、という結論になる。

3.3.4 トランケーションノイズまとめ

基準1でも基準2でも、Chamberlin のオールポール・ローパスは トランケーションノイズに非常に強い。
理由は単純で、このトポロジでは一般にノイズゲインを決める極のゲインが、フィルタが意図的に持たせるピークゲインを超えないから。
推奨最大ピークゲインは 24 dB であり、これが実質的な上限となる。

3.3.5 リミットサイクル振動（ゼロ入力発振）

ゼロ入力リミットサイクルは、再帰回路内での継続的な量子化によって生じる（線形系に混入する非線形）。
係数の量子化は「原因」ではなく、リミットサイクルの「条件（パラメータ）」になる。

入力を止めても出力に小さな定常トーンが残るのが典型的症状。
発生箇所は、トランケーションノイズと同じく 乗算器入力になりやすい。

近年、トランケーション誤差フィードバックがリミットサイクル抑制にも効くことが分かってきた。
これは信号伝達は変えずに、ノイズ伝達にだけ単位円上の零点を戦略的に入れるような効果を持つ。
つまり、ノイズ経路に差分項（低域を消す形）が入ると、ノイズだけでなくリミットサイクルにも耐性が出る、という見立て。

Chamberlin では、そのような“低域を消す形”が明確に入るノイズ経路は bp の1つだけなので、理屈の上ではリミットサイクルは完全には否定できない。
ただし経験的には大きな問題は見られない、という立場。

理論解析は難しいので、実務的には 最悪ケース設計を行う。
すなわち、内部トランケーションをより低いレベルに追いやる＝信号パスの精度を上げる。
目安として、精度を1ビット増やすごとに約6 dB分の抑制が得られる。

3.3.6 内部オーバーフロー解析（入口）

オーバーフロー解析は、どの内部ノードが先に飽和（クリップ）するかを見る。
一般に、出力よりも先に、内部の“敏感なノード”が飽和することがある。

飽和する場合、2の補数ラップアラウンドより、**サチュレーション（正負フルスケールに張り付く）**の方が遥かに望ましい。
しかし、内部ノードでのクリッピングは出力でのクリッピングよりずっと耳障りなので、絶対に避けるべきである。

敏感なノードは再び 乗算器入力（アキュムレータほど余裕がない）で、図18では hp と bp がそれに当たる。

この解析では、各敏感ノードへの伝達が、出力への伝達と比べてどれくらい大きくなりうるか（相対的なブースト）を評価する。
hp の場合は、高域で出力より大きくなりやすい、という性質が示され、最悪条件は高周波側と、中心周波数が上限付近にある場合に出る

そこで、ユニティ出力（ゲイン1）に対するブーストは 2倍になる。

1. ノード bp：
   同様に式を立てると、bp ノードでも出力に対して相対的なブーストが生じることが分かる。
   この場合の最悪ケースのブーストは、絶対値で 約 √2 となる。

この解析に基づくと、内部ノードでの信号オーバーフローを防ぐための簡単な手法として、著者らが有効だと分かった方法は次のとおりである：

Chamberlin トポロジの前段で、入力レベルを 固定で 1/2 に減衰させる

その代わり出力側で 2倍の補償をかける

ただし、この出力補償はフィルタ内部で生成されるトランケーションノイズも同時に増幅してしまう。したがって、入力信号電力に対するフィルタ自身のノイズ電力の比（S/N）は 6 dB 悪化する。

図16に示されるように、Chamberlin のローパスフィルタは ピークを持つ（ブースティング）フィルタである。
入力信号によっては、ローパス出力がオーバーフローする可能性がある。

ただし、常に出力オーバーフローが起きるとは限らない。なぜなら、フィルタで持ち上がる周波数帯域に、入力信号のエネルギーが十分含まれていない場合もあるからである。
また、出力でのわずかなクリッピングは、音楽家にとって必ずしも不快ではない。

したがって、音楽家のためにフィルタのピークゲインを自動的に正規化しようとして、入力を減衰させるのは望ましくない。そうすると、聴感上の音量が不快に落ちるからである。
そうなれば音楽家は「出力補償のつまみ」を要求することになるが、そのようなノブは強く推奨されない。理由は、出力補償によって内部で生成されたトランケーションノイズまで増幅されてしまうためである。

出力オーバーフロー問題に対する最も現実的な解決策は、フィルタ入力のレベルをユーザーが調整できるようにすることである。
ユーザーが入力レベルを自分で決め、出力のクリッピングが「不快だ」と感じる点を探して調整すればよい。
このように、ブースト型フィルタに入力レベル調整があるなら、出力側に「最大出力を狙うための補償ノブ」を用意する必要はなくなる。

3.4 信号パス幅（ビット幅）の見積もり

表5に示された 21ビットというパス幅の見積もりは、基準2において、Chamberlin ローパス出力で 16ビット相当の入力忠実度を維持できることを意味する。

フィルタ内部の信号パス幅は、

最大ピークゲインを下げる

あるいは必要なビット忠実度を妥協する

ことで小さくできる。

なお、より保守的な基準1に従うと、フィルタ信号パスに必要な総ビット数の見積もりは **23ビット（追加5ビット）**となる。

また、積分器のアキュムレータは、安定性維持のために、倍精度のフィードバックを保持しなければならない。

3.5 付録3：トランケーションノイズのスペクトルレベルとノイズ電力の関係

ここでは、トランケーションノイズの

「スペクトルレベル（周波数あたりの平均的な高さ）」
と

「総ノイズ電力」
の関係を求める。

目的は、S/N が 6 dB 改善するごとに、平均的なノイズスペクトルレベルも同じだけ 6 dB 下がることを示すためである。

トランケーションノイズの解析は、量子化ノイズの解析と非常によく似ている。
また古典的な高レート量子化ノイズの見積もりは統計的であり、評価式にはサンプルレートそのものが現れない。したがって、最終結果もサンプルレートに依存しない形になるはずだ、と著者は予想している。

ここではトランケーションノイズを「決定論的」なものとして扱い、スペクトルが積分可能であると仮定する。
そして、任意の周波数・任意の長さのユニティ振幅複素正弦波は有限の電力を持つ（S=1）という前提の下で議論を進める。

与えられた S/N（例：96 dB）、データ長（Mサンプル）、信号電力（S=1）から、対応するノイズ電力を求め、さらにそれを「平均スペクトルレベル」に結び付けると、

平均ノイズスペクトルレベルは総ノイズ電力に比例する

そしてその関係は サンプルレートに依存しない

という結論が得られる。

この結果は、ノイズ電力が 6 dB 下がれば、平均スペクトルレベルも 6 dB 下がることを意味する（M が固定なら）。
著者がこの関係を必要としたのは、16ビットと20ビットの量子化（またはトランケーション）では、ビット差が4ビットなので、平均的なスペクトルレベル差が **24 dB（=4×6 dB）**になる、という主張（基準1の根拠）を正当化するためである。