Domande Portfolio
1. Si discutano vantaggi e svantaggi del calcolo dei rendimenti in
capitalizzazione semplice piuttosto che in capitalizzazione continua
Il calcolo dei rendimenti nella capitalizzazione semplice
rt=Pt−Pt−1
Pt−1
Il fattore di capitalizzazione è
1+rt
, quindi per costruzione
rt≥−1
. Il problema che si
pone è l’assunzione che la distribuzione dei rendimenti sia normale, quindi tutto lo
spazio
(± ∞ )
.
Nella capitalizzazione continua invece indicheremo i prezzi
pt=pt−1e
^
rt∆t
M=C e
^
rt∆t
~
rt=ln pt
pt−1
=ln
(
pt
pt−1
−1+1
)
=ln
~
rt+1
L’assunzione standard che
p>0
, quindi
pt
pt−1
>0
. Questo implica che la quantità
ln pt
pt−1
→ IR
.
Il vantaggio di utilizzare rendimenti logaritmici è che sono definiti su tutto
IR
, quindi
compatibile con una distribuzione di rendimenti normale. A differenza invece dei
rendimenti semplici che non permettono questo in quanto il supporto è
¿−1
.
Se calcolassimo i rendimenti con una o con l’altra formula il risultato sarebbe simile
dal punto di vista matematico. Però c’è qualche differenza per cui i rendimenti
possano considerarsi diversi o uguali:
oI tassi d’interesse vengono calcolati in basis point (ovvero
10−4
). Se due tassi
d’interesse differiscono per almeno un basis point, i rendimenti possono
considerarsi diversi.
oSe si approssima il rendimento logaritmico della funzione
ln pt+1
pt
con una
funzione lineare (approssimazione di Taylor) a due termini, per rendimenti
piccoli, il rendimento semplice è un’ottima approssimazione per il rendimento
logaritmico (se calcolati in un intorno destro di 0).
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2. Si discutano il ruolo e le implicazioni dell’ipotesi nel modello media-
varianza.
Assunzioni nel modello di Markowtiz
Essendo un modello di ottimizzazione, ha un solo periodo:
t=0
l’investitore decide
quanto ammontare all’asset risk-free e a quello rischioso.
t=1
controlla
l’investimento.
L’investitore può investire in un asset risk-free e in più asset rischiosi: È un’ipotesi
forte in quando non esiste il rischio zero ma in tutti questi modelli
rf
è il rendimento
obbligazionario di un titolo di stato a breve termine (solitamente i T-Bill a 3 mesi). In
Markowitz il rischio viene calcolato a partire dalla varianza dei rendimenti. Inoltre, si
assume che
rf
è unico in quanto se ci fossero due RISK free si creerebbe arbitraggio.
La ricchezza
w1
alla fine del periodo di investimento è pari a:
w1=
(
1+x0τ0+xTr
)
∗w0
2
portafoglio debba concentrarsi solo sui primi due momenti delle distribuzioni dei
rendimenti, ossia la media e la varianza.
3. A partire dalla formulazione del problema di ottimizzazione, si ricavi
analiticamente il portafoglio ottimale nel caso di
n
titoli rischiosi e un titolo
non rischioso.
Nel modello di Markowitz il problema di ottimizzazione di un portafoglio ottimale
nel caso di
n
titoli rischiosi e un titolo non rischioso può essere scritto come
x¿=min xT∑ x st xTμ=μ0
xT∑ x=varianza del portafoglio
μ
in un vettore di colonne con il rendimento atteso di ogni attività
Teorema del moltiplicatore di Lagrange
Assumendo che
F:IRn→ IR e h :IRn→ IR
sia
C1
insieme delle funzioni derivabili
parzialmente almeno una volta. Supponiamo che
x¿
sia una soluzione del problema
max F (x)st h
(
x
)
=c
Inoltre, supponiamo che
x¿
non sia un punto critico di
h
. Se vale tutto questo, allora
esisterà un numero reale
λ¿
per cui
x¿, λ¿
è un punto critico della funzione lagrangiana
L
(
x , λ
)
=F
(
x
)
−λ[h
(
x
)
−c]
In altre parole, in corrispondenza di
(x¿, λ¿)
si ha che
∂ L
∂ x =
[
0
]
e∂ L
∂ λ =
[
0
]
Ritornando al problema di ottimizzazione del portafoglio
x¿=min xT∑ x st xTμ=μ0
Impostando la lagrangiana e le condizioni di primo ordine otteniamo
L
(
x , λ
)
=1
2xT∑ x−λ(xTμ−μ0)
6
{
∂ L
∂ x
1
2∗2∑ x−λ
(
μ
)
=[0]
∂ L
∂ λ xTμ−μ0=0
Dalla prima condizione otteniamo che
∑ x=λμ
x¿=λ ∑−1μ
Andando a sostituire nella seconda condizione di primo ordine
x¿
appena trovato
λ μ ' ∑−1μ=μ0
λ¿=μ0
μ ' ∑−1μ
Il portafoglio efficiente quindi sarà pari a:
x¿=μ0
μ ' ∑−1μ∗∑−1μ
La varianza invece, considerando
x0=1−xTμ
sarà pari a
σx
2=(x¿)T∑x¿=μT∑−1∑∑−1μμ0
2
(μT∑−1μ)2
¿(μT∑−1μ)μ0
2
(μT∑−1μ)2=μ0
2
μT∑−1μ
σx=±μ0
√
μT∑−1μ
frontiera efficiente
Possiamo costruire un portafoglio con
una specifica deviazione standard.
La parte inferiore è dominata nella
varianza media dalla pendenza superiore.
Ciò significa che la parte superiore ha
stesso rischio ma con rendimenti più
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Portafoglio a varianza minima globale
Il suo obiettivo è fornire rendimenti con la più bassa varianza possibile di qualsiasi
portafoglio ed è soggetto a vincoli di ponderazione simili (se presenti), senza
considerare il possibile impatto sul rendimento del portafoglio. Va quindi
considerata come una strategia di minimizzazione del rischio assoluto.
In assenza di altri vincoli, oltre a
x'μ=1
questo problema può essere risolto in forma
chiusa. Per ogni matrice di covarianza invertibile Ω, esiste una soluzione unica data
dalla seguente equazione:
xGMV=∑−1μ
μ ' ∑−1μ
Il rendimento atteso del portafoglio GMV è dato dalla seguente equazione:
μGMV =μ ' ∑−1μ
μ ' ∑−1μ
e la sua varianza è data dalla seguente equazione:
σGMV
2=1
μ' ∑−1μ
Il portafoglio GMV è generalmente un portafoglio long/short e levered, poiché il
vincolo di pieno investimento non impone nulla in merito al segno dei singoli pesi.
5. Quale condizione definisce il portafoglio risk-parity? In quali casi particolari
esiste una espressione in forma chiusa del portafoglio? Si specifichi
l’allocazione in questi casi.
Tale strategia di allocazione è stata proposta da Roncalli nel 2010. Si vuole costruire
un portafoglio in modo che ogni asset contribuisca in egual misura al rischio totale
del portafoglio. Ciò significa che il portafoglio è equamente ponderato rispetto al
rischio, permettendo di sottopesare le attività più rischiose e sovrappesare asset
meno rischiosi.
x∈IRnxi≥0i=1,2 , … n
xiμ=1
∑ matrice di covarianza
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σi
2varianzadel l 'asset i
σij covarianza tra asset i e j
Possiamo scrivere la deviazione standard del portafoglio come
σ
(
x
)
=
√
x'∑ x=
√
∑
i=1
n
xi
2σi
2+∑
i=1
n∑
j=1
n
xixjσij
Il marginal risk contribution è definito
∂xiσ
(
x
)
=∂ σ
(
x
)
∂ xi
=
xiσi
2+∑
i ≠ j
n
xiσij
σ
(
x
)
Si definisce marginale perché la differenza di volatilità è una variazione
infinitesimale sul numero di asset.
Se definiamo la quantità
σi
(
x
)
=xi∂ xiσ
(
x
)
, il total risk contribution dell’asset
i
(ovvero
come l’asset
i
contribuisce al rischio di portafoglio) sarà pari a:
σ
(
x
)
=∑
i=1
n
σi(x)
È meno banale di quanto sembri perché prendiamo il rischio globale e vogliamo
sommare il contributo di ogni asset. Problema: non è sempre possibile!
Se volessimo riscriverlo sottoforma matriciale:
σi
(
x
)
=(∑ x )i
√
x ' ∑ x
∑ x vettore colonna
(
∑ x
)
iconsiderala voce i del vet col (èun numero)
Def:
xERC
¿={x∈IRn:∑
i=1
n
xi=1, xi≥0i=1,2 , … n }
xi∂ xiσ
(
x
)
=xj∂ x jσ
(
x
)
∀i, j=1, … , n
Poiché
∂ xiσ
(
x
)
è proporzionale a
(∑ x )i
, possiamo riscriverla come
xERC
¿={x∈IRn:∑
i=1
n
xi=1, xi≥0i=1,2 , … n }
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lim
n→ +∞
Var
(
x
)
=¿
lim
n→ +∞
1
nσi
2+n2−n
n2σij=σij >0¿
Più asset abbiamo, più diversifichiamo la long only position. Se aggiungiamo asset al
portafoglio, la componente idiosincratica diventa pari a 0.
7. Si definisca il concentration ratio. Si discutano le principali proprietà di tale
misura di concentrazione di portafoglio
Uno dei modi più semplici per misurare la concentrazione di un portafoglio è quello
di calcolare il peso cumulativo delle sue posizioni 𝑘 più grandi, dove 𝑘 è un
parametro esogeno. L'indicatore corrispondente è chiamato rapporto di
concentrazione di ordine 𝑘. È definito come
CR
(
k
)
=∑
i=1
k
~
xn−i+1
Il risultato varia tra
k/N
(portafoglio con attività equamente ponderate) e 1
(portafoglio altamente concentrato, soprattutto se 𝑘 è piccolo). Il rapporto di
concentrazione verifica le sei proprietà riportate di seguito, ma soffre di diversi
inconvenienti. Il principale è che il numero 𝑘 è arbitrario e deve essere scelto con
cautela. Se 𝑘 è troppo piccolo, 𝐶𝑅(𝑘) considererà solo una piccola frazione
dell'intera distribuzione delle esposizioni. Se 𝑘 è troppo grande, il rapporto di
concentrazione trasmette sempre meno informazioni. Nel caso più estremo, 𝑘 →
𝑁, 𝐶𝑅(𝑘) → 1 e il CR diventa inutile. Quindi, riassumendo:
o
k
deve essere fissato
oSe
k
è troppo piccolo, si prende in considerazione solo una piccola parte della
distribuzione dei pesi.
ose
k
è troppo grande
CR(k)
contiene scarse informazioni. Quando
k → n ⇒CR (k)→1
oil valore minimo di
CR(k)
dipende da
n
(tale misura non è in grado di
confrontare portafogli diversi con un numero diverso di asset). Può essere
assoluta (info quantitative) o relativa (fornisce informazioni sull'ordine).
L'interpretazione probabilistica del rapporto di concentrazione di ordine 𝑘 è la
seguente: 𝐶𝑅(𝑘) è la probabilità che un'esposizione unitaria scelta a caso
appartenga alle esposizioni maggiori 𝑘. Tecnicamente, si tratta della funzione di
distribuzione cumulativa della distribuzione (ordinata) dei pesi del portafoglio.
Intuitivamente, un portafoglio concentrato avrà un elevato 𝐶𝑅(𝑘), o
equivalentemente, un'elevata probabilità che un'esposizione unitaria scelta a caso
faccia parte di una posizione particolarmente grande.
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Proprietà della concentrazione
Sono disponibili diverse metriche per rilevare la concentrazione di un determinato
portafoglio. La maggior parte di esse assume la forma di una somma ponderata di
una funzione dei pesi del portafoglio. Lo schema di ponderazione utilizzato nella
somma determina essenzialmente la sensibilità della misura di concentrazione alle
variazioni nella coda della distribuzione dei pesi degli asset. In pratica, esistono
quattro tipi di schemi di ponderazione comunemente utilizzati per calcolare la
misura di concentrazione:
1. utilizzare pesi pari a uno per alcune attività e a zero per altre;
2. utilizzare i pesi del portafoglio come pesi;
3. utilizzare le classifiche dei pesi delle attività come pesi e
4. utilizzare il negativo del logaritmo dei pesi del portafoglio come pesi.
Inoltre, la misura di concentrazione può essere discreta e concentrarsi solo su
alcune attività del portafoglio, oppure cumulativa e utilizzare l'intero insieme di pesi
delle attività. La prima soluzione è più semplice quando il portafoglio è dominato da
poche attività. La seconda è migliore quando qualsiasi asset del portafoglio può
avere un'influenza.
L’insieme di proprietà desiderabili che una "buona" misura di concentrazione
dovrebbe possedere. Le prime sei elencate di seguito sono le più importanti:
I. Principio di trasferimento: Una misura di concentrazione non deve diminuire
quando una determinata esposizione viene ridotta e un'esposizione maggiore
viene aumentata della stessa quantità.
II. Principio della distribuzione uniforme: Una misura di concentrazione dovrebbe
raggiungere il suo valore minimo quando tutte le esposizioni sono di uguale
entità.
III. Criterio di Lorenz: Se due portafogli, composti dallo stesso numero di
esposizioni, soddisfano la condizione che la dimensione aggregata delle 𝑘
esposizioni maggiori del primo portafoglio sia maggiore o uguale alla
dimensione aggregata delle esposizioni maggiori del secondo portafoglio. 𝑘
maggiori esposizioni nel secondo portafoglio per
1≤ k ≤ N
, allora la stessa
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