第436回 シーズン44 エピソード6

見つかる・見つける・見つけ出す（後編） ただいま無料

図書室にて

テトラ「でも、先輩。 これで証明はできました（第435回参照）が、 なかなか大変ですね……」

僕「そうだねえ、 一次独立な二つのベクトル $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ で表して、計算に持ち込むのはいいけれど、 大変なのは確かだ」

テトラ「先輩？　いまの問題でふと（・・）思ったことがあるんですけど……」

僕「思ったこと？」

テトラ「はい。この図には、三角形の二辺と交わる直線があるのが見つかります。 いままでは $\mathrm{△}\text{ABC}$ に注目していましたが、 $\mathrm{△}\text{ABE}$ と直線 $\text{CD}$ に注目するんです」

僕「うん？　……ああ、なるほど。メネラウスの定理を使うつもり？」

テトラ「はいっ！　その通りです」

僕「なるほどね。僕はメネラウスの定理を証明するときに、 《補助線を使う証明》をしたあとで《ベクトルを使う証明》に気付いたけど（第432回参照）、 テトラちゃんは反対のパターンをやろうと思ったんだ」

テトラ「ですです。確かにベクトルも面白いんですが、 この図を見ていると、いかにもメネラウスの定理が使えそうです。 つまり、 $\mathrm{△}\text{ABE}$ と直線 $\text{CD}$ に対して、

• $\mathbf{\text{頂点}}$ は $\text{A},\text{B},\text{E}$
• $\mathbf{\text{交点}}$ は $\text{D},\text{F},\text{C}$

になりますよね」

僕「そうだね。あれ……でも……」

テトラ「大丈夫です。 $$\mathbf{\text{頂点}}\to \mathbf{\text{交点}}\to \mathbf{\text{頂点}}\to \mathbf{\text{交点}}\to \mathbf{\text{頂点}}\to \mathbf{\text{交点}}$$ の順番でたどれば、 メネラウスの定理を間違えることはありません！」

僕「テトラちゃん、テトラちゃん、これはまずくない？」

テトラ「先輩、先輩、どうしてでしょう？　間違ってませんよね？」

僕「うん、メネラウスの定理はまちがっていないし、 $\mathrm{△}\text{ABE}$ と直線 $\text{CD}$ にあてはめるのもまちがっていない。 でも、それはいまの問題解決には役立たないような気がするんだけど」

テトラ「いまの問題解決には役立たないとは……あっ！　確かに」

僕「だよね」

メネラウスの定理を使って証明したい

テトラ「いま確かめたいのは点 $\text{G}$ が辺 $\text{BC}$ の中点になるか？ということでした。 $\text{CG}:\text{GB}=1:1$ になること、 つまり、 $$\frac{\text{CG}}{\text{GB}}=1$$ を確かめるんですが、あたしのメネラウスの定理は点 $\text{G}$ をスルーしちゃってましたっ！」

僕「うん、でもテトラちゃんのアイディアは素晴らしいよ。 僕はベクトルを使うことばかり考えていて、メネラウスの定理を使ってみようとは思わなかったから」

テトラ「$\text{CG}:\text{GB}=1:1$ を調べたいのであれば、 点 $\text{G}$ がうまく交点になるような三角形と直線を見つけ出す必要があるんですね」

僕「$\frac{\text{CG}}{\text{GB}}$ が出てくるように メネラウスの定理を当てはめられる 三角形と直線——あ、すぐに見つかるね！」

三角形を見つけよう

テトラ「あたしも見つけました！　 $\mathrm{△}\text{CBD}$ と直線 $\text{AF}$ を使えば、 うまく $\text{CG}:\text{GB}$ が出てきます」

僕「そうだね」

テトラ「これで調べたい $\boxed{\frac{\text{CG}}{\text{GB}}}$ は出てきましたが…… $$\frac{\text{BA}}{\text{AD}}\text{や}\frac{\text{DF}}{\text{FC}}$$ はわからないままですね」

僕「……」

テトラ「だとしたら、ダメでしたか……」

僕「僕は見つけてしまった」

テトラ「え？」

異なる三角形を見つけよう

僕「図2の場合とは異なる三角形に、メネラウスの定理を当てはめられるよ。 しかもまた、 $\frac{\text{CG}}{\text{GB}}$ が出てくる三角形と直線がある」

テトラ「い、言わないでください。あたしも見つけたい！」

僕「見つかった？」

テトラ「はい。これですね。逆立ちしていました！」

僕「そうだね。これで式が二本できた。図2から一本、図3から一本。 さて、ここからどうするか……」

テトラ「$\text{BA},\text{AD},\text{DF},\text{FC}$ と $\text{BF},\text{FE},\text{EA},\text{AC}$ で共通なものは二本の式の中にありませんね。 共通なのは $\text{CG},\text{GB}$ だけです。結局、メネラウスの定理を二回使って、 わからないものが増えてしまった？」

僕「わからないものが増えてしまったのは確かだけど、 《条件をすべて使ったか》という問いかけをしなくちゃね。 『いかにして問題をとくか』に出てくるポリアの問いかけだ」

《条件をすべて使ったか》

テトラ「《条件をすべて使ったか》……ですか。 ああ、 $\text{BC}$ と $\text{DE}$ が平行であるという条件を使っていませんでした……あっ、 もうわかりましたよ。 さっき（第435回参照）見つかった $\mathrm{△}\text{ABC}$ と $\mathrm{△}\text{ADE}$ が相似であることが使えますっ！」

僕「なるほど？」

テトラ「相似比を $r$ として考えます。すると、

$$\text{AD}=r\text{AB}$$ です。 それから、

$$\text{AE}=r\text{AC}$$ になりますよね！」

僕「そうだね……」

テトラ「これで、 さっきの二本の式（$\mathrm{♡}$）のうち $\text{AD}$ と $\text{AE}$ を $r$ を使って書けますよ！ では、 $\mathrm{♡}$ を書き換えていきます。 $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\text{BA}}{\text{AD}}}\times {\displaystyle \frac{\text{DF}}{\text{FC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\\ {\displaystyle \frac{\text{BF}}{\text{FE}}}\times {\displaystyle \frac{\text{EA}}{\text{AC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\end{array}$$ この $\mathrm{♡}$ で、 $\text{BA}=\text{AB}$ と $\text{AE}=\text{EA}$ に注意しながら、 $$\text{AD}=r\text{AB},\text{AE}=r\text{AC}$$ を代入します。 すると、 $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\text{AB}}{r\text{AB}}}\times {\displaystyle \frac{\text{DF}}{\text{FC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\\ {\displaystyle \frac{\text{BF}}{\text{FE}}}\times {\displaystyle \frac{r\text{AC}}{\text{AC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\end{array}$$ になりますから、約分すると、 $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{r}}\times {\displaystyle \frac{\text{DF}}{\text{FC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\\ {\displaystyle \frac{\text{BF}}{\text{FE}}}\times r\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\end{array}$$ になります（$\mathrm{♣}$）。これで一歩、進みましたね！」

僕「ねえテトラちゃん、僕も見つけた。これでもう一歩、進めるよ」

テトラ「何でしょうか」

僕「テトラちゃんは、《$\mathrm{△}\text{ABC}$ と $\mathrm{△}\text{ADE}$ が相似である》ことを使ったけど、 それだと、知りたい $\frac{\text{BF}}{\text{FE}},\frac{\text{DF}}{\text{FC}}$ をスルーしているよね？」

テトラ「はい、そうなりますね。でもそれはこれから探しますからっ！」

僕「《$\mathrm{△}\text{FCB}$ と $\mathrm{△}\text{FDE}$ が相似である》ことを 使ったら、知りたい比が一度に手に入るんじゃない？」

テトラ「えっ……ええっと、 三角形 $\text{F},\text{C},\text{B}$ と、三角形 $\text{F},\text{D},\text{E}$ ですか……？」

僕「線分 $\text{BC}$ と線分 $\text{DE}$ は平行だから、 $\mathrm{\angle }\text{B}=\mathrm{\angle }\text{E}$ だし $\mathrm{\angle }\text{C}=\mathrm{\angle }\text{D}$ になる。平行線の錯角（さっかく）だから」

テトラ「相似比を $r$ とすると……あ、これぜんぶ出ちゃいますね。 $\mathrm{△}\text{FCB}$ と $\mathrm{△}\text{FDE}$ が相似なので、 $$\text{FE}=r\text{FB}=r\text{BF},\text{DF}=r\text{CF}=r\text{FC}$$ になります。 これを $\mathrm{♣}$ つまり $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{r}}\times {\displaystyle \frac{\text{DF}}{\text{FC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\\ {\displaystyle \frac{\text{BF}}{\text{FE}}}\times r\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\end{array}$$ に代入すると…… $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{r}}\times {\displaystyle \frac{r\text{FC}}{\text{FC}}}\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\\ {\displaystyle \frac{\text{BF}}{r\text{BF}}}\times r\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\end{array}$$ になります。またまた約分して $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{r}}\times r\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\\ {\displaystyle \frac{1}{r}}\times r\times \boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1\end{array}$$ となり、めでたく $$\boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}=1$$ が得られました。確かに、点 $\text{G}$ は辺 $\text{BC}$ の中点です！」

僕「できたね！」

テトラ「そうですね……」

僕「……」

テトラ「先輩、あのですね。ふと（・・）思ったことがあります。聞いていただけますか？」

僕「もちろん、もちろん。今度はどんな証明？」

テトラ「あ、いえ。新しい証明とか、そういうことではなくてですね。 《発見》ということについてです」

僕「発見？」

《発見》

テトラ「今回の問題で、あたしは最初 $\mathrm{△}\text{ABC}$ と直線 $\text{CD}$ に対してメネラウスの定理を使おうと思いました。 点 $\text{G}$ をスルーしちゃったわけです」

僕「うん」

テトラ「あたしは、どうして点 $\text{G}$ をスルーしたんだろう……って思いました」

僕「……」

テトラ「それはもちろん考えが足りなかったからですけれど、 もう一歩進んで『どんな考えが足りなかったんだろうか』と考えました」

僕「おお。自分の思考を思考する。メタ思考だね！」

テトラ「あたしは『何のためにメネラウスの定理を使うのか』を考えていませんでした。 ただ単に、メネラウスの定理を使うことを優先させていたんだなと思うんです」

僕「なるほどね」

テトラ「実はですね。先輩がメネラウスの定理を証明なさったときの図が頭に残っていて、 ちょうどそれに近い形の三角形と直線に目が行ったということも思いました」

僕「そういうこと、あるよね」

テトラ「点 $\text{G}$ を交点に持つようなパターン、つまり、 $$\boxed{{\displaystyle \frac{\text{CG}}{\text{GB}}}}$$ が出てくるような配置になっている三角形と直線を自分から見つける意識になれたなら、 うまく《発見》できたかもしれない……とも思いました」

僕「そうか……だとすると、ポリアの問いかけにある《求めるものは何か》というのは、 やっぱり大事なんだね。 自分が求めたいものを意識して、 そこに関わるものを見つけ出す態度になる。 そうすれば《発見》に近づけるかもしれない。 テトラちゃんがいうのはそういうことだよね」

テトラ「その通りです！

• 図形の証明で、うまい補助線を引きたいとき
• ベクトルを使った証明で、うまい変数を導入したいとき
• 今回のような問題で、定理をうまい配置にして当てはめたいとき

そんなときに、 たとえ試行錯誤が必要だとしても、 闇雲にあっちこっち試すんじゃなくて、 自分は何を求めているのか、何が見つかったらうれしいのか、 自分はどこに向かいたいのか——そういう意識で試行錯誤した方がいいのかもしれない、と思ったんです」

僕「まるでそれは《思考ベクトル》だね」

テトラ「はい？」

僕「考えるときに、どっちの向きにどれだけの大きさで進もうとしているか。 向きと大きさがあるなら《思考ベクトル》だなあ、って思ったんだ。 もちろんあくまで比喩だけどね」

テトラ「ああ、なるほどです。 思考ベクトル、意識的に制御したいですっ！」

僕「ポリアの問いかけには《えられた答を検討せよ》というのもあるよ。 答えが出て終わりにするんじゃなくて、振り返るってことだね。 テトラちゃんは、自分の考えをよくまとめるし、振り返りも得意。 テトラちゃんは、学び上手なんだね」

テトラ「《腕力》だけじゃないと思っていただけているなら、何よりです」