階層ベイズによる小標本データの比率の推定

こんにちは、リブセンスで統計や機械学習関係の仕事をしている北原です。今回は階層ベイズを使った小技の紹介です。推定にはStanを使います。

Webサービスに限らないかもしれませんが、CVRやCTRなど比率データを扱うことって多いですよね。弊社の求人サービスは成果報酬型であるため、各求人の採用率などを知りたいこともよくあります。しかし、求人別だとバイト求人や転職求人の応募数はそれほど多くないので、採用数を応募数で単純に割っただけでは極端な採用率になりがちです。今回は、このような分母の値が小さい比率のデータを、階層ベイズを使って計算する方法を紹介します。

応募数が少ないときの採用率計算の問題

まず、応募数が少ない求人の採用率計算が必要な理由と、このようなサンプルサイズが小さいデータの比率計算の問題について説明します。
その問題をふまえて、今回どのような推定を行いたいかを説明します。

弊社の成果報酬型求人サービスでは、応募だけでなく採用してもらうことで売上が発生します。そのため、応募率だけでなく採用率も重要になってきます。例えば、あまりに採用率が低い求人があれば、その求人にマッチした求職者に応募してもらうような施策を考えたり、採用方針を企業に問い合わせたりする必要があります。また、採用率が高い求人があれば、その理由を調べて他の求人の採用率を上げる施策に活かすこともできます。

採用率は採用数を応募数で割ることで計算しますが、バイト求人にしても転職求人にしても、求人ごとに集計すると安定した比率を得るだけの十分な応募数がある求人は少ないです。集計期間を長くとれば計算に使える応募数が多くなることもありますが、求人は入れ替わることも多いし、集計期間を長くすればするほど古い情報を反映した採用率になってしまうので好ましくありません。また、応募数が少なかった求人についても状況に応じて適切な対策を打ちたいので、応募数が少ない求人を無視するということもしたくありません。

当然ながら、採用率を計算するときの分母にあたる応募数が少ないと、算出された採用率の信頼性は低くなります。例えば、応募数200件で採用数100件の求人であれば採用率50%と言われてもあまり違和感がないですが、応募数2件で採用数1件だと採用率50%と言われても疑わしいですよね。特に応募数が少ないときに、極端な採用率が算出されてしまいやすいという問題があります。

それでは、全求人の平均採用率が20%であることがわかっていたらどうでしょう。多くの人は、各求人の応募数や採用数だけでなく全体的な傾向も考慮して、応募数が増えたときの採用率を推測するのではないでしょうか。例えば、応募数2件で採用数1件の求人の採用率は、応募数が増えていけば50%より低くなりそうですが、全体採用率20%よりは高そうなので、だいたい30〜40%ぐらいかなと考えませんか。一方、応募数200件で採用数100件の求人場合だと、分母の値も比較的大きいので採用率は50%より少し低めの45〜49%ぐらいかなと考えませんか。

このように全体的な傾向も考慮して採用率を計算できると便利です。今回はベイズ推定を使って、このような計算を行います。

主観的な事前分布を設定したベイズ推定

それでは、全求人の採用率傾向を考慮した各求人の採用率推定の考え方について説明します。

ベイズ推定では主観的な情報を事前分布として設定することができます。そのため、全求人の採用率の傾向を事前分布として設定すれば、全体傾向を考慮して各求人の採用率を推定することができそうです。

ベイズ推定では、データが少ないと事前分布の影響を強く受けますが、データが多くなってくると徐々に事前分布の影響が薄れてきます。そのため、応募数が少ないと、推定採用率はデータから単純に計算された採用率よりも全求人の採用率に近い値になります。一方で、応募数が多くなると、全求人の採用率よりデータから計算された採用率に近い値になります。その結果、前節で例として説明したような、人が直感的に判断したときと同じような推定採用率が得られることが期待できます。

事前分布の検討

今回の肝となる事前分布をどうするかについて説明します。

どのような事前分布を設定するのがよいかについては様々な考え方があるのですが、ここでは全求人の採用率傾向を表すことができ、計算が収束する分布を選ぶことにします。全求人の採用率傾向についてはデータを調べて検討することにしましょう。

ここからはサンプルデータを使って具体的に見ていきます。

サンプルデータ(クリックすると展開されます)

	id	N	R	G	rate
	1	1	0	35	0
	2	1	0	31	0
	3	1	0	21	0
	4	1	0	28	0
	5	1	0	28	0
	6	1	0	1	0
	7	1	0	53	0
	8	1	0	50	0
	9	1	0	2	0
	10	1	0	20	0
	11	1	0	7	0
	12	1	0	52	0
	13	1	0	7	0
	14	1	0	3	0
	15	1	0	21	0
	16	1	0	21	0
	17	1	0	35	0
	18	1	0	28	0
	19	1	0	7	0
	20	1	0	28	0
	21	1	0	32	0
	22	1	0	50	0
	23	1	0	53	0
	24	1	0	27	0
	25	1	0	28	0
	26	1	0	39	0
	27	1	0	29	0
	28	1	0	19	0
	29	1	0	52	0
	30	1	0	33	0
	31	1	0	35	0
	32	1	0	2	0
	33	1	0	28	0
	34	1	0	13	0
	35	1	0	24	0
	36	1	0	23	0
	37	1	0	52	0
	38	1	0	43	0
	39	1	0	28	0
	40	1	0	7	0
	41	1	0	18	0
	42	1	0	2	0
	43	1	0	51	0
	44	1	0	19	0
	45	1	0	35	0
	46	1	0	20	0
	47	1	0	28	0
	48	1	0	21	0
	49	1	0	2	0
	50	1	0	31	0
	51	1	0	18	0
	52	1	0	26	0
	53	1	0	28	0
	54	1	0	5	0
	55	1	0	23	0
	56	1	0	2	0
	57	1	0	28	0
	58	1	0	28	0
	59	1	0	35	0
	60	1	0	17	0
	61	1	0	35	0
	62	1	0	7	0
	63	1	0	35	0
	64	1	0	35	0
	65	1	0	18	0
	66	1	0	28	0
	67	1	0	28	0
	68	1	0	2	0
	69	1	0	43	0
	70	1	0	24	0
	71	1	0	52	0
	72	1	0	2	0
	73	1	0	2	0
	74	1	0	52	0
	75	1	0	2	0
	76	1	0	24	0
	77	1	0	29	0
	78	1	0	27	0
	79	1	0	28	0
	80	1	0	51	0
	81	1	0	26	0
	82	1	0	35	0
	83	1	0	35	0
	84	1	0	26	0
	85	1	0	7	0
	86	1	0	2	0
	87	1	0	39	0
	88	2	0	29	0
	89	2	0	33	0
	90	2	0	18	0
	91	2	0	51	0
	92	2	0	51	0
	93	2	0	52	0
	94	2	0	46	0
	95	2	0	24	0
	96	2	0	40	0
	97	2	0	46	0
	98	2	0	29	0
	99	2	0	35	0
	100	2	0	7	0
	101	2	0	28	0
	102	2	0	11	0
	103	2	0	7	0
	104	2	0	54	0
	105	2	0	28	0
	106	2	0	46	0
	107	2	0	50	0
	108	2	0	28	0
	109	2	0	52	0
	110	2	0	28	0
	111	2	0	24	0
	112	2	0	48	0
	113	2	0	28	0
	114	2	0	7	0
	115	2	0	7	0
	116	2	0	18	0
	117	2	0	7	0
	118	2	0	28	0
	119	2	0	43	0
	120	2	0	40	0
	121	2	0	7	0
	122	2	0	12	0
	123	2	0	12	0
	124	2	0	28	0
	125	2	0	37	0
	126	2	0	38	0
	127	2	0	34	0
	128	2	0	7	0
	129	2	0	6	0
	130	2	0	26	0
	131	2	0	23	0
	132	2	0	47	0
	133	2	0	51	0
	134	2	0	23	0
	135	2	0	40	0
	136	2	0	46	0
	137	2	0	28	0
	138	2	0	29	0
	139	2	0	21	0
	140	2	0	3	0
	141	2	0	7	0
	142	2	0	15	0
	143	3	0	23	0
	144	3	0	44	0
	145	3	0	18	0
	146	3	0	26	0
	147	3	0	17	0
	148	3	0	7	0
	149	3	0	29	0
	150	3	0	28	0
	151	3	0	15	0
	152	3	0	44	0
	153	3	0	43	0
	154	3	0	24	0
	155	3	0	26	0
	156	3	0	46	0
	157	3	0	24	0
	158	3	0	52	0
	159	3	0	29	0
	160	3	0	52	0
	161	3	0	24	0
	162	4	0	18	0
	163	4	0	38	0
	164	4	0	48	0
	165	4	0	46	0
	166	4	0	7	0
	167	4	0	40	0
	168	4	0	48	0
	169	4	0	46	0
	170	4	0	18	0
	171	4	0	38	0
	172	4	0	33	0
	173	4	0	28	0
	174	4	0	17	0
	175	4	0	39	0
	176	4	0	13	0
	177	4	0	3	0
	178	4	0	51	0
	179	4	0	3	0
	180	4	0	11	0
	181	4	0	23	0
	182	5	0	45	0
	183	5	0	11	0
	184	5	0	30	0
	185	5	0	39	0
	186	5	0	7	0
	187	5	0	7	0
	188	5	0	6	0
	189	5	0	36	0
	190	5	0	43	0
	191	5	0	26	0
	192	5	0	43	0
	193	5	0	7	0
	194	5	0	38	0
	195	5	0	38	0
	196	5	0	23	0
	197	5	0	13	0
	198	5	0	40	0
	199	5	0	38	0
	200	6	0	18	0
	201	6	0	46	0
	202	6	0	7	0
	203	6	0	43	0
	204	6	0	3	0
	205	6	0	12	0
	206	6	0	24	0
	207	6	0	9	0
	208	6	0	42	0
	209	6	0	7	0
	210	6	0	51	0
	211	6	0	52	0
	212	6	0	28	0
	213	6	0	44	0
	214	6	0	11	0
	215	6	0	11	0
	216	6	0	40	0
	217	6	0	28	0
	218	6	0	11	0
	219	7	0	23	0
	220	7	0	3	0
	221	8	0	11	0
	222	8	0	40	0
	223	8	0	18	0
	224	8	0	28	0
	225	8	0	26	0
	226	8	0	7	0
	227	8	0	39	0
	228	8	0	46	0
	229	9	0	11	0
	230	9	0	44	0
	231	9	0	46	0
	232	9	0	45	0
	233	9	0	7	0
	234	10	0	40	0
	235	10	0	28	0
	236	10	0	11	0
	237	20	1	29	0.05
	238	30	2	11	0.067
	239	13	1	15	0.077
	240	12	1	15	0.083
	241	11	1	7	0.091
	242	22	2	7	0.091
	243	22	2	7	0.091
	244	21	2	7	0.095
	245	10	1	41	0.1
	246	10	1	52	0.1
	247	20	2	4	0.1
	248	9	1	49	0.111
	249	18	2	40	0.111
	250	36	4	10	0.111
	251	8	1	40	0.125
	252	16	2	18	0.125
	253	46	6	9	0.13
	254	15	2	11	0.133
	255	30	4	14	0.133
	256	7	1	49	0.143
	257	7	1	15	0.143
	258	7	1	28	0.143
	259	7	1	7	0.143
	260	14	2	18	0.143
	261	14	2	10	0.143
	262	21	3	7	0.143
	263	21	3	11	0.143
	264	13	2	15	0.154
	265	13	2	7	0.154
	266	6	1	43	0.167
	267	6	1	43	0.167
	268	6	1	28	0.167
	269	6	1	28	0.167
	270	6	1	38	0.167
	271	6	1	7	0.167
	272	12	2	15	0.167
	273	12	2	18	0.167
	274	34	6	11	0.176
	275	22	4	11	0.182
	276	22	4	7	0.182
	277	5	1	7	0.2
	278	5	1	28	0.2
	279	5	1	3	0.2
	280	5	1	7	0.2
	281	5	1	17	0.2
	282	5	1	7	0.2
	283	10	2	29	0.2
	284	10	2	11	0.2
	285	10	2	18	0.2
	286	15	3	7	0.2
	287	20	4	11	0.2
	288	20	4	18	0.2
	289	28	6	11	0.214
	290	18	4	11	0.222
	291	13	3	28	0.231
	292	26	6	12	0.231
	293	51	12	10	0.235
	294	50	12	11	0.24
	295	4	1	8	0.25
	296	4	1	50	0.25
	297	4	1	28	0.25
	298	4	1	39	0.25
	299	4	1	43	0.25
	300	4	1	52	0.25
	301	4	1	46	0.25
	302	4	1	8	0.25
	303	8	2	30	0.25
	304	8	2	16	0.25
	305	8	2	18	0.25
	306	8	2	28	0.25
	307	24	6	25	0.25
	308	72	18	10	0.25
	309	30	8	11	0.267
	310	30	8	7	0.267
	311	7	2	7	0.286
	312	14	4	12	0.286
	313	21	6	46	0.286
	314	10	3	7	0.3
	315	20	6	7	0.3
	316	50	16	11	0.32
	317	3	1	29	0.333
	318	3	1	43	0.333
	319	3	1	23	0.333
	320	3	1	46	0.333
	321	3	1	13	0.333
	322	3	1	39	0.333
	323	3	1	28	0.333
	324	3	1	28	0.333
	325	3	1	6	0.333
	326	3	1	17	0.333
	327	6	2	18	0.333
	328	6	2	51	0.333
	329	6	2	19	0.333
	330	6	2	40	0.333
	331	6	2	10	0.333
	332	6	2	23	0.333
	333	6	2	11	0.333
	334	6	2	18	0.333
	335	6	2	18	0.333
	336	12	4	12	0.333
	337	12	4	11	0.333
	338	12	4	18	0.333
	339	12	4	18	0.333
	340	18	6	9	0.333
	341	18	6	9	0.333
	342	11	4	7	0.364
	343	5	2	28	0.4
	344	5	2	18	0.4
	345	10	4	51	0.4
	346	10	4	11	0.4
	347	10	4	11	0.4
	348	2	1	7	0.5
	349	2	1	18	0.5
	350	2	1	26	0.5
	351	2	1	43	0.5
	352	2	1	26	0.5
	353	2	1	29	0.5
	354	2	1	28	0.5
	355	2	1	43	0.5
	356	2	1	22	0.5
	357	2	1	28	0.5
	358	2	1	18	0.5
	359	2	1	51	0.5
	360	2	1	29	0.5
	361	4	2	7	0.5
	362	4	2	10	0.5
	363	4	2	11	0.5
	364	4	2	10	0.5
	365	4	2	18	0.5
	366	6	3	11	0.5
	367	8	4	18	0.5
	368	7	4	48	0.571
	369	3	2	28	0.667
	370	3	2	28	0.667
	371	3	2	51	0.667
	372	12	8	18	0.667
	373	24	16	12	0.667
	374	14	10	11	0.714
	375	1	1	39	1
	376	1	1	18	1
	377	1	1	7	1
	378	1	1	28	1
	379	1	1	48	1
	380	1	1	28	1
	381	1	1	46	1
	382	1	1	28	1
	383	1	1	26	1
	384	1	1	35	1
	385	1	1	23	1
	386	1	1	43	1
	387	2	2	11	1
	388	2	2	20	1
	389	2	2	11	1
	390	2	2	23	1
	391	3	3	46	1

view raw sample.csv hosted with ❤ by GitHub

このサンプルデータは、ある条件で抽出した求人の応募数と採用数を模擬したデータになっています。1行が1求人に対応し、N、R、G列は推定に使うデータ、idとrateは参考のために付与したデータになっています。Nは応募数、Rは採用数、Gは地域や職種など何らかのグループを表すものと考えてください。rateは採用率で、idは説明の際に参照しやすいようにつけました。全体の採用数を応募数で割り、全体採用率を計算するとおよそ0.1766になります。全391求人のうち、応募が10件以上ある求人でも53しかなく、ほとんどの求人では採用率を計算しにくいことがわかると思います。

全体傾向を事前分布にするためには、採用率がどのような確率分布になるかを考える必要があります。まずは各求人の採用率をヒストグラムにして分布を見てみましょう。

採用率0%が飛び抜けて多く、その他33%、50%、100%が多いことがわかりますが、これだけだと応募数が増えたときにどのような確率分布になるかわからないですね。知りたいのは応募数が多くなったときの採用率の分布なので、応募数が一定数以上の求人の採用率分布を見てみましょう。

応募数が多い求人だけを見てみると、右裾の長い分布になっているように思えます。加えて、採用率0%や100%の求人もなくなっていることから、応募数が十分多いと採用率0%や100%の求人は0件になるのではと予想されます。そこで、このような特徴をもつ確率分布を探すとベータ分布が見つかります。これ以降はベータ分布を事前分布として使うことにしましょう。なお、採用率推定の事前分布としてベータ分布が常によいわけではありません。例えば、応募数が多いのに採用率100%の求人が多い場合はガンマ分布など別の分布を使うこともあります。

事前分布を活用した比率の推定

事前分布に使う確率分布も決めたので、実際に採用率を推定します。ここでは、前節で検討した事前分布の有無による違いを見るため、事前分布を使わないときと、事前分布に固定パラメータのベータ分布を使ったときの２種類の結果を調べます。

まず、採用率は二項分布にしたがうことだけを仮定したシンプルなモデルで推定してみましょう。Stanでは明示的に事前分布を指定しないと一様分布を指定したときと同じになります。モデルとコードは以下のようになります。

Rコード（クリックすると展開されます）

library(rstan)
library(tidyverse)

dat <- read_csv("sample.csv")

stan_dat <-
  list(M = nrow(dat),
       N = dat$N,
       R = dat$R)

fit <- stan(file = 'binom.stan', 
            data = stan_dat,
            seed = 123)

Stanコード(binom.stan)（クリックすると展開されます）

data {
  int M;
  int<lower=0> N[M];  // 応募数(分母)
  int<lower=0> R[M];  // 採用数(分子)
}
 
parameters {
  vector<lower=0, upper=1>[M] theta;  // 採用率
}
 
model {
  R ~ binomial(N, theta);
}

推定結果のサマリは以下のようになります。

推定結果のサマリ（クリックすると展開されます）

	variable	mean	se_mean	sd	2.5%	25%	50%	75%	97.5%	n_eff	Rhat
	theta[1]	0.333	0.0037	0.234	0.014	0.137	0.294	0.499	0.842	4000	1
	theta[2]	0.334	0.0037	0.232	0.015	0.135	0.294	0.502	0.827	4000	1
	theta[3]	0.331	0.0037	0.233	0.014	0.135	0.293	0.493	0.845	4000	1
	theta[4]	0.336	0.0038	0.24	0.011	0.131	0.295	0.511	0.842	4000	1
	theta[5]	0.336	0.0037	0.236	0.012	0.138	0.295	0.5	0.847	4000	1
	theta[6]	0.332	0.0037	0.236	0.012	0.129	0.293	0.501	0.838	4000	1
	theta[7]	0.338	0.0038	0.24	0.011	0.134	0.292	0.512	0.851	4000	1
	theta[8]	0.331	0.0037	0.234	0.012	0.129	0.294	0.498	0.835	4000	1
	theta[9]	0.331	0.0038	0.24	0.012	0.128	0.285	0.504	0.849	4000	1
	theta[10]	0.332	0.0037	0.234	0.014	0.138	0.291	0.502	0.827	4000	1
	theta[11]	0.332	0.0037	0.236	0.014	0.133	0.295	0.493	0.836	4000	1
	theta[12]	0.338	0.0037	0.236	0.015	0.136	0.299	0.504	0.85	4000	1
	theta[13]	0.331	0.0037	0.235	0.01	0.131	0.294	0.496	0.834	4000	1
	theta[14]	0.336	0.0037	0.237	0.013	0.137	0.295	0.508	0.846	4000	1
	theta[15]	0.33	0.0038	0.237	0.011	0.128	0.291	0.495	0.849	4000	1
	theta[16]	0.338	0.0038	0.24	0.011	0.133	0.298	0.507	0.859	4000	1
	theta[17]	0.332	0.0037	0.235	0.013	0.132	0.29	0.498	0.834	4000	1
	theta[18]	0.329	0.0038	0.237	0.01	0.128	0.285	0.499	0.833	4000	1
	theta[19]	0.331	0.0037	0.234	0.013	0.132	0.289	0.504	0.833	4000	1
	theta[20]	0.334	0.0038	0.237	0.012	0.132	0.293	0.511	0.843	4000	1
	theta[21]	0.332	0.0037	0.236	0.016	0.129	0.292	0.5	0.833	4000	1
	theta[22]	0.333	0.0037	0.236	0.013	0.136	0.289	0.499	0.843	4000	1
	theta[23]	0.336	0.0038	0.242	0.01	0.128	0.295	0.51	0.85	4000	1
	theta[24]	0.337	0.0038	0.241	0.014	0.135	0.291	0.509	0.848	4000	1
	theta[25]	0.336	0.0038	0.238	0.013	0.134	0.289	0.504	0.847	4000	1
	theta[26]	0.337	0.0037	0.232	0.017	0.14	0.302	0.5	0.834	4000	1
	theta[27]	0.335	0.0038	0.24	0.013	0.13	0.292	0.511	0.849	4000	1
	theta[28]	0.33	0.0036	0.229	0.014	0.135	0.289	0.497	0.825	4000	1
	theta[29]	0.332	0.0037	0.234	0.012	0.135	0.293	0.501	0.842	4000	1
	theta[30]	0.333	0.0036	0.229	0.018	0.143	0.299	0.494	0.826	4000	1
	theta[31]	0.332	0.0038	0.241	0.012	0.129	0.288	0.5	0.853	4000	1
	theta[32]	0.335	0.0038	0.24	0.01	0.133	0.292	0.5	0.859	4000	1
	theta[33]	0.335	0.0037	0.231	0.015	0.139	0.299	0.497	0.828	4000	1
	theta[34]	0.331	0.0037	0.231	0.012	0.139	0.29	0.496	0.829	4000	1
	theta[35]	0.336	0.0037	0.236	0.015	0.136	0.295	0.509	0.843	4000	1
	theta[36]	0.337	0.0037	0.233	0.014	0.147	0.296	0.503	0.844	4000	1
	theta[37]	0.334	0.0037	0.231	0.013	0.141	0.296	0.505	0.823	4000	1
	theta[38]	0.333	0.0038	0.238	0.013	0.132	0.289	0.503	0.842	4000	1
	theta[39]	0.335	0.0037	0.236	0.014	0.133	0.3	0.507	0.83	4000	1
	theta[40]	0.333	0.0038	0.24	0.012	0.129	0.285	0.507	0.851	4000	1
	theta[41]	0.335	0.0038	0.239	0.012	0.131	0.297	0.511	0.851	4000	1
	theta[42]	0.335	0.0037	0.231	0.016	0.139	0.298	0.504	0.832	4000	1
	theta[43]	0.334	0.0038	0.239	0.013	0.133	0.294	0.502	0.867	4000	1
	theta[44]	0.338	0.0038	0.242	0.013	0.13	0.293	0.512	0.853	4000	1
	theta[45]	0.331	0.0037	0.235	0.014	0.135	0.29	0.485	0.848	4000	1
	theta[46]	0.334	0.0037	0.234	0.012	0.137	0.295	0.498	0.842	4000	1
	theta[47]	0.338	0.0037	0.237	0.014	0.134	0.303	0.507	0.845	4000	1
	theta[48]	0.331	0.0036	0.23	0.014	0.14	0.293	0.492	0.822	4000	1
	theta[49]	0.332	0.0037	0.235	0.015	0.134	0.294	0.504	0.842	4000	1
	theta[50]	0.332	0.0036	0.229	0.014	0.141	0.294	0.491	0.835	4000	1
	theta[51]	0.333	0.0036	0.23	0.016	0.141	0.296	0.494	0.838	4000	1
	theta[52]	0.331	0.0037	0.235	0.011	0.135	0.289	0.499	0.852	4000	1
	theta[53]	0.331	0.0037	0.233	0.014	0.135	0.291	0.495	0.839	4000	1
	theta[54]	0.331	0.0038	0.238	0.013	0.128	0.29	0.502	0.842	4000	1
	theta[55]	0.335	0.0036	0.228	0.015	0.147	0.297	0.489	0.837	4000	1
	theta[56]	0.338	0.0038	0.24	0.012	0.133	0.299	0.51	0.845	4000	1
	theta[57]	0.327	0.0036	0.23	0.014	0.133	0.285	0.49	0.834	4000	1
	theta[58]	0.33	0.0037	0.236	0.012	0.133	0.287	0.494	0.835	4000	1
	theta[59]	0.332	0.0037	0.233	0.011	0.137	0.297	0.492	0.839	4000	1
	theta[60]	0.333	0.0039	0.244	0.009	0.124	0.285	0.512	0.855	4000	1
	theta[61]	0.333	0.0037	0.237	0.012	0.131	0.294	0.504	0.841	4000	1
	theta[62]	0.338	0.0038	0.242	0.012	0.131	0.295	0.503	0.85	4000	1
	theta[63]	0.334	0.0037	0.234	0.013	0.14	0.296	0.493	0.842	4000	1
	theta[64]	0.332	0.0037	0.235	0.011	0.137	0.289	0.493	0.857	4000	1
	theta[65]	0.329	0.0037	0.236	0.01	0.131	0.285	0.495	0.845	4000	1
	theta[66]	0.331	0.0037	0.236	0.011	0.131	0.292	0.493	0.848	4000	1
	theta[67]	0.338	0.0038	0.237	0.011	0.139	0.298	0.504	0.848	4000	1
	theta[68]	0.336	0.0037	0.233	0.013	0.137	0.299	0.495	0.833	4000	1
	theta[69]	0.333	0.0037	0.237	0.01	0.132	0.293	0.502	0.849	4000	1
	theta[70]	0.335	0.0039	0.244	0.011	0.125	0.29	0.511	0.842	4000	1
	theta[71]	0.333	0.0037	0.233	0.013	0.134	0.293	0.499	0.823	4000	1
	theta[72]	0.335	0.0037	0.233	0.012	0.142	0.299	0.496	0.835	4000	1
	theta[73]	0.327	0.0038	0.239	0.011	0.126	0.282	0.495	0.857	4000	1
	theta[74]	0.329	0.0037	0.236	0.01	0.13	0.293	0.495	0.836	4000	1
	theta[75]	0.332	0.0037	0.237	0.013	0.133	0.294	0.498	0.85	4000	1
	theta[76]	0.333	0.0037	0.234	0.015	0.135	0.29	0.5	0.838	4000	1
	theta[77]	0.334	0.0038	0.237	0.011	0.132	0.293	0.506	0.85	4000	1
	theta[78]	0.334	0.0038	0.242	0.008	0.129	0.291	0.509	0.855	4000	1
	theta[79]	0.335	0.0038	0.239	0.011	0.137	0.286	0.51	0.853	4000	1
	theta[80]	0.333	0.0038	0.238	0.012	0.131	0.288	0.507	0.842	4000	1
	theta[81]	0.332	0.0037	0.236	0.013	0.132	0.289	0.504	0.843	4000	1
	theta[82]	0.331	0.0038	0.242	0.01	0.125	0.285	0.505	0.847	4000	1
	theta[83]	0.333	0.0036	0.229	0.015	0.139	0.297	0.494	0.838	4000	1
	theta[84]	0.333	0.0037	0.237	0.013	0.134	0.289	0.497	0.847	4000	1
	theta[85]	0.333	0.0037	0.235	0.011	0.134	0.293	0.495	0.845	4000	1
	theta[86]	0.332	0.0037	0.232	0.015	0.141	0.293	0.486	0.841	4000	1
	theta[87]	0.332	0.0037	0.237	0.011	0.132	0.287	0.504	0.833	4000	1
	theta[88]	0.249	0.003	0.188	0.009	0.094	0.207	0.371	0.685	4000	1
	theta[89]	0.249	0.0031	0.195	0.009	0.092	0.201	0.37	0.712	4000	1
	theta[90]	0.25	0.003	0.192	0.01	0.094	0.204	0.371	0.699	4000	1
	theta[91]	0.251	0.0031	0.195	0.009	0.089	0.208	0.372	0.717	4000	1
	theta[92]	0.248	0.003	0.19	0.009	0.093	0.203	0.367	0.691	4000	1
	theta[93]	0.251	0.0031	0.197	0.007	0.092	0.205	0.371	0.717	4000	1
	theta[94]	0.252	0.003	0.192	0.009	0.095	0.211	0.373	0.698	4000	1
	theta[95]	0.251	0.003	0.193	0.009	0.091	0.206	0.378	0.678	4000	1
	theta[96]	0.252	0.0031	0.195	0.007	0.092	0.209	0.372	0.716	4000	1
	theta[97]	0.254	0.0031	0.198	0.01	0.088	0.205	0.381	0.714	4000	1
	theta[98]	0.254	0.0031	0.198	0.008	0.09	0.207	0.377	0.727	4000	1
	theta[99]	0.251	0.0031	0.198	0.008	0.086	0.208	0.381	0.701	4000	1
	theta[100]	0.251	0.003	0.193	0.008	0.094	0.208	0.369	0.708	4000	1
	theta[101]	0.247	0.003	0.192	0.008	0.088	0.205	0.363	0.699	4000	1
	theta[102]	0.25	0.0031	0.194	0.008	0.093	0.206	0.37	0.712	4000	1
	theta[103]	0.25	0.0031	0.194	0.008	0.085	0.207	0.379	0.701	4000	1
	theta[104]	0.249	0.0031	0.195	0.008	0.088	0.206	0.377	0.699	4000	1
	theta[105]	0.248	0.0031	0.194	0.008	0.086	0.205	0.368	0.703	4000	1
	theta[106]	0.252	0.0031	0.194	0.008	0.096	0.208	0.369	0.718	4000	1
	theta[107]	0.25	0.0031	0.195	0.008	0.09	0.207	0.367	0.713	4000	1
	theta[108]	0.248	0.0031	0.197	0.007	0.085	0.201	0.366	0.718	4000	1
	theta[109]	0.251	0.003	0.19	0.011	0.095	0.207	0.371	0.689	4000	1
	theta[110]	0.246	0.0031	0.193	0.008	0.086	0.203	0.36	0.707	4000	1
	theta[111]	0.252	0.0031	0.195	0.008	0.093	0.207	0.371	0.711	4000	1
	theta[112]	0.249	0.003	0.193	0.008	0.091	0.202	0.368	0.706	4000	1
	theta[113]	0.25	0.003	0.193	0.01	0.093	0.206	0.367	0.713	4000	1
	theta[114]	0.248	0.003	0.187	0.009	0.092	0.21	0.363	0.677	4000	1
	theta[115]	0.252	0.0031	0.199	0.006	0.088	0.205	0.371	0.727	4000	1
	theta[116]	0.251	0.003	0.193	0.007	0.092	0.208	0.373	0.706	4000	1
	theta[117]	0.247	0.003	0.191	0.009	0.086	0.21	0.372	0.695	4000	1
	theta[118]	0.249	0.0031	0.197	0.008	0.088	0.203	0.375	0.716	4000	1
	theta[119]	0.249	0.0031	0.195	0.008	0.087	0.206	0.37	0.704	4000	1
	theta[120]	0.254	0.0031	0.197	0.008	0.091	0.207	0.377	0.717	4000	1
	theta[121]	0.244	0.003	0.19	0.009	0.088	0.201	0.356	0.697	4000	1
	theta[122]	0.253	0.003	0.191	0.011	0.096	0.214	0.374	0.687	4000	1
	theta[123]	0.249	0.003	0.187	0.009	0.099	0.208	0.364	0.695	4000	1
	theta[124]	0.25	0.003	0.192	0.007	0.094	0.209	0.367	0.712	4000	1
	theta[125]	0.251	0.0031	0.195	0.008	0.089	0.21	0.375	0.715	4000	1
	theta[126]	0.252	0.003	0.192	0.011	0.099	0.207	0.372	0.698	4000	1
	theta[127]	0.25	0.0031	0.193	0.008	0.092	0.207	0.368	0.713	4000	1
	theta[128]	0.251	0.003	0.192	0.009	0.09	0.214	0.377	0.696	4000	1
	theta[129]	0.253	0.0031	0.197	0.008	0.093	0.209	0.371	0.732	4000	1
	theta[130]	0.251	0.0031	0.197	0.007	0.088	0.204	0.379	0.707	4000	1
	theta[131]	0.25	0.0031	0.193	0.009	0.092	0.206	0.37	0.692	4000	1
	theta[132]	0.245	0.003	0.189	0.008	0.088	0.204	0.364	0.684	4000	1
	theta[133]	0.25	0.0031	0.198	0.008	0.089	0.202	0.374	0.705	4000	1
	theta[134]	0.248	0.0031	0.195	0.007	0.088	0.203	0.366	0.713	4000	1
	theta[135]	0.249	0.0031	0.197	0.006	0.089	0.206	0.367	0.722	4000	1
	theta[136]	0.25	0.003	0.192	0.009	0.093	0.206	0.375	0.694	4000	1
	theta[137]	0.25	0.0031	0.194	0.011	0.089	0.201	0.375	0.695	4000	1
	theta[138]	0.25	0.0031	0.193	0.009	0.093	0.204	0.368	0.698	4000	1
	theta[139]	0.247	0.003	0.189	0.008	0.09	0.206	0.365	0.686	4000	1
	theta[140]	0.246	0.003	0.19	0.007	0.088	0.203	0.367	0.676	4000	1
	theta[141]	0.252	0.0031	0.195	0.008	0.093	0.209	0.371	0.72	4000	1
	theta[142]	0.25	0.003	0.191	0.009	0.098	0.207	0.368	0.706	4000	1
	theta[143]	0.202	0.0026	0.163	0.006	0.072	0.164	0.295	0.598	4000	1
	theta[144]	0.198	0.0025	0.161	0.006	0.069	0.158	0.29	0.588	4000	1
	theta[145]	0.201	0.0026	0.167	0.007	0.068	0.157	0.288	0.612	4000	1
	theta[146]	0.201	0.0026	0.166	0.007	0.068	0.159	0.3	0.612	4000	1
	theta[147]	0.201	0.0026	0.162	0.008	0.071	0.161	0.297	0.599	4000	1
	theta[148]	0.2	0.0026	0.162	0.007	0.071	0.16	0.294	0.595	4000	1
	theta[149]	0.2	0.0026	0.166	0.006	0.068	0.155	0.297	0.609	4000	1
	theta[150]	0.202	0.0025	0.16	0.006	0.072	0.165	0.295	0.591	4000	1
	theta[151]	0.202	0.0026	0.166	0.007	0.066	0.16	0.296	0.602	4000	1
	theta[152]	0.202	0.0026	0.164	0.007	0.07	0.16	0.298	0.601	4000	1
	theta[153]	0.202	0.0026	0.163	0.008	0.07	0.16	0.299	0.614	4000	1
	theta[154]	0.202	0.0026	0.162	0.009	0.072	0.163	0.298	0.597	4000	1
	theta[155]	0.201	0.0026	0.167	0.004	0.067	0.16	0.296	0.608	4000	1
	theta[156]	0.2	0.0026	0.166	0.007	0.066	0.158	0.292	0.612	4000	1
	theta[157]	0.197	0.0026	0.162	0.005	0.068	0.157	0.286	0.6	4000	1
	theta[158]	0.199	0.0026	0.163	0.006	0.068	0.156	0.293	0.612	4000	1
	theta[159]	0.199	0.0026	0.164	0.007	0.068	0.157	0.29	0.606	4000	1
	theta[160]	0.2	0.0025	0.16	0.007	0.071	0.162	0.291	0.591	4000	1
	theta[161]	0.205	0.0026	0.165	0.006	0.071	0.163	0.306	0.596	4000	1
	theta[162]	0.164	0.0022	0.138	0.006	0.056	0.13	0.243	0.508	4000	1
	theta[163]	0.166	0.0022	0.141	0.005	0.055	0.129	0.242	0.52	4000	1
	theta[164]	0.167	0.0022	0.137	0.006	0.058	0.133	0.243	0.497	4000	1
	theta[165]	0.167	0.0022	0.139	0.005	0.058	0.129	0.242	0.513	4000	1
	theta[166]	0.169	0.0023	0.145	0.005	0.055	0.128	0.248	0.532	4000	1
	theta[167]	0.168	0.0022	0.138	0.006	0.059	0.132	0.245	0.503	4000	1
	theta[168]	0.169	0.0022	0.142	0.005	0.056	0.137	0.24	0.531	4000	1
	theta[169]	0.169	0.0023	0.147	0.004	0.055	0.13	0.246	0.539	4000	1
	theta[170]	0.166	0.0022	0.141	0.004	0.054	0.127	0.245	0.514	4000	1
	theta[171]	0.168	0.0023	0.146	0.005	0.055	0.125	0.246	0.536	4000	1
	theta[172]	0.168	0.0023	0.145	0.006	0.053	0.129	0.242	0.526	4000	1
	theta[173]	0.162	0.0022	0.138	0.006	0.056	0.122	0.235	0.517	4000	1
	theta[174]	0.169	0.0022	0.141	0.007	0.057	0.133	0.248	0.525	4000	1
	theta[175]	0.166	0.0022	0.141	0.005	0.054	0.127	0.245	0.513	4000	1
	theta[176]	0.167	0.0022	0.142	0.005	0.055	0.128	0.241	0.524	4000	1
	theta[177]	0.167	0.0022	0.138	0.005	0.058	0.131	0.24	0.504	4000	1
	theta[178]	0.167	0.0023	0.144	0.004	0.053	0.127	0.244	0.528	4000	1
	theta[179]	0.171	0.0023	0.145	0.006	0.058	0.132	0.249	0.544	4000	1
	theta[180]	0.165	0.0022	0.14	0.005	0.056	0.129	0.238	0.522	4000	1
	theta[181]	0.166	0.0022	0.14	0.005	0.056	0.13	0.244	0.51	4000	1
	theta[182]	0.145	0.002	0.126	0.004	0.048	0.109	0.21	0.46	4000	1
	theta[183]	0.144	0.0019	0.123	0.004	0.048	0.111	0.205	0.461	4000	1
	theta[184]	0.143	0.002	0.126	0.004	0.047	0.109	0.204	0.465	4000	1
	theta[185]	0.142	0.002	0.126	0.004	0.045	0.105	0.209	0.458	4000	1
	theta[186]	0.141	0.0019	0.119	0.005	0.05	0.109	0.203	0.445	4000	1
	theta[187]	0.145	0.002	0.123	0.005	0.047	0.112	0.209	0.451	4000	1
	theta[188]	0.142	0.0019	0.122	0.005	0.047	0.108	0.205	0.448	4000	1
	theta[189]	0.143	0.002	0.124	0.004	0.047	0.109	0.205	0.466	4000	1
	theta[190]	0.142	0.0019	0.12	0.005	0.049	0.109	0.202	0.438	4000	1
	theta[191]	0.143	0.0019	0.121	0.005	0.051	0.113	0.201	0.455	4000	1
	theta[192]	0.145	0.002	0.123	0.005	0.048	0.11	0.212	0.457	4000	1
	theta[193]	0.144	0.002	0.129	0.004	0.043	0.108	0.207	0.47	4000	1
	theta[194]	0.139	0.0019	0.121	0.004	0.046	0.107	0.204	0.452	4000	1
	theta[195]	0.144	0.0019	0.122	0.004	0.048	0.108	0.208	0.448	4000	1
	theta[196]	0.142	0.002	0.124	0.005	0.046	0.105	0.205	0.466	4000	1
	theta[197]	0.143	0.0019	0.123	0.006	0.048	0.106	0.207	0.454	4000	1
	theta[198]	0.144	0.0019	0.123	0.004	0.049	0.112	0.205	0.468	4000	1
	theta[199]	0.144	0.002	0.126	0.004	0.046	0.108	0.212	0.46	4000	1
	theta[200]	0.126	0.0017	0.108	0.004	0.041	0.099	0.183	0.402	4000	1
	theta[201]	0.125	0.0017	0.111	0.004	0.039	0.093	0.179	0.413	4000	1
	theta[202]	0.125	0.0018	0.112	0.003	0.04	0.094	0.178	0.424	4000	1
	theta[203]	0.126	0.0018	0.114	0.003	0.04	0.095	0.176	0.428	4000	1
	theta[204]	0.125	0.0018	0.111	0.004	0.039	0.093	0.181	0.409	4000	1
	theta[205]	0.129	0.0018	0.117	0.003	0.038	0.095	0.185	0.434	4000	1
	theta[206]	0.128	0.0018	0.114	0.004	0.041	0.095	0.185	0.42	4000	1
	theta[207]	0.124	0.0017	0.107	0.003	0.042	0.095	0.179	0.4	4000	1
	theta[208]	0.126	0.0017	0.11	0.004	0.04	0.095	0.186	0.406	4000	1
	theta[209]	0.127	0.0018	0.113	0.003	0.042	0.096	0.18	0.428	4000	1
	theta[210]	0.126	0.0017	0.11	0.004	0.04	0.095	0.182	0.405	4000	1
	theta[211]	0.124	0.0017	0.109	0.004	0.04	0.093	0.177	0.401	4000	1
	theta[212]	0.125	0.0017	0.11	0.004	0.04	0.096	0.182	0.41	4000	1
	theta[213]	0.128	0.0018	0.115	0.003	0.039	0.094	0.182	0.425	4000	1
	theta[214]	0.126	0.0018	0.113	0.003	0.039	0.092	0.181	0.424	4000	1
	theta[215]	0.125	0.0017	0.108	0.004	0.042	0.096	0.176	0.403	4000	1
	theta[216]	0.125	0.0017	0.11	0.004	0.04	0.092	0.183	0.406	4000	1
	theta[217]	0.123	0.0017	0.108	0.003	0.039	0.094	0.176	0.406	4000	1
	theta[218]	0.125	0.0017	0.11	0.003	0.04	0.094	0.179	0.418	4000	1
	theta[219]	0.111	0.0016	0.1	0.003	0.034	0.081	0.161	0.365	4000	1
	theta[220]	0.11	0.0015	0.096	0.004	0.037	0.083	0.158	0.358	4000	1
	theta[221]	0.102	0.0015	0.092	0.003	0.031	0.077	0.144	0.341	4000	1
	theta[222]	0.101	0.0014	0.087	0.004	0.034	0.076	0.143	0.325	4000	1
	theta[223]	0.1	0.0015	0.094	0.003	0.03	0.073	0.142	0.349	4000	1
	theta[224]	0.1	0.0014	0.091	0.002	0.032	0.075	0.14	0.337	4000	1
	theta[225]	0.099	0.0014	0.088	0.003	0.032	0.074	0.143	0.322	4000	1
	theta[226]	0.101	0.0014	0.09	0.004	0.032	0.075	0.146	0.337	4000	1
	theta[227]	0.098	0.0014	0.089	0.004	0.031	0.073	0.143	0.319	4000	1
	theta[228]	0.101	0.0014	0.09	0.003	0.032	0.075	0.145	0.335	4000	1
	theta[229]	0.092	0.0014	0.087	0.003	0.027	0.065	0.133	0.319	4000	1
	theta[230]	0.091	0.0013	0.084	0.002	0.027	0.066	0.129	0.312	4000	1
	theta[231]	0.092	0.0013	0.085	0.003	0.028	0.066	0.131	0.313	4000	1
	theta[232]	0.091	0.0013	0.084	0.002	0.026	0.068	0.129	0.305	4000	1
	theta[233]	0.091	0.0013	0.083	0.002	0.028	0.067	0.133	0.311	4000	1
	theta[234]	0.082	0.0012	0.078	0.002	0.025	0.06	0.116	0.292	4000	1
	theta[235]	0.082	0.0012	0.075	0.002	0.025	0.061	0.118	0.282	4000	1
	theta[236]	0.083	0.0012	0.077	0.002	0.025	0.061	0.118	0.285	4000	1
	theta[237]	0.091	9e-4	0.06	0.012	0.047	0.079	0.121	0.237	4000	1
	theta[238]	0.093	8e-4	0.051	0.02	0.055	0.085	0.122	0.217	4000	1
	theta[239]	0.133	0.0014	0.086	0.016	0.067	0.114	0.182	0.343	4000	1
	theta[240]	0.143	0.0015	0.092	0.02	0.073	0.125	0.195	0.365	4000	1
	theta[241]	0.154	0.0015	0.094	0.021	0.083	0.136	0.211	0.381	4000	1
	theta[242]	0.125	0.0011	0.068	0.028	0.074	0.115	0.164	0.281	4000	1
	theta[243]	0.126	0.001	0.066	0.03	0.077	0.115	0.164	0.284	4000	1
	theta[244]	0.131	0.0011	0.069	0.028	0.08	0.121	0.17	0.291	4000	1
	theta[245]	0.166	0.0016	0.104	0.021	0.086	0.148	0.228	0.411	4000	1
	theta[246]	0.165	0.0016	0.1	0.025	0.087	0.146	0.224	0.399	4000	1
	theta[247]	0.137	0.0011	0.07	0.033	0.085	0.126	0.178	0.301	4000	1
	theta[248]	0.179	0.0017	0.108	0.024	0.096	0.161	0.244	0.429	4000	1
	theta[249]	0.15	0.0012	0.079	0.033	0.09	0.138	0.195	0.334	4000	1
	theta[250]	0.132	9e-4	0.056	0.043	0.09	0.125	0.165	0.256	4000	1
	theta[251]	0.198	0.0019	0.119	0.03	0.108	0.176	0.266	0.485	4000	1
	theta[252]	0.168	0.0014	0.089	0.037	0.102	0.155	0.219	0.376	4000	1
	theta[253]	0.145	8e-4	0.049	0.061	0.11	0.14	0.175	0.254	4000	1
	theta[254]	0.176	0.0014	0.091	0.038	0.108	0.162	0.232	0.383	4000	1
	theta[255]	0.155	0.001	0.062	0.054	0.11	0.148	0.192	0.297	4000	1
	theta[256]	0.221	0.0021	0.131	0.032	0.118	0.197	0.303	0.533	4000	1
	theta[257]	0.224	0.0021	0.131	0.032	0.122	0.203	0.306	0.533	4000	1
	theta[258]	0.219	0.002	0.126	0.032	0.122	0.2	0.297	0.503	4000	1
	theta[259]	0.221	0.002	0.126	0.038	0.127	0.201	0.296	0.517	4000	1
	theta[260]	0.187	0.0015	0.094	0.044	0.117	0.175	0.243	0.403	4000	1
	theta[261]	0.186	0.0015	0.093	0.047	0.115	0.172	0.244	0.397	4000	1
	theta[262]	0.174	0.0012	0.077	0.05	0.117	0.165	0.219	0.347	4000	1
	theta[263]	0.174	0.0012	0.078	0.053	0.114	0.165	0.224	0.349	4000	1
	theta[264]	0.199	0.0016	0.098	0.044	0.126	0.185	0.259	0.419	4000	1
	theta[265]	0.202	0.0016	0.101	0.048	0.126	0.188	0.264	0.431	4000	1
	theta[266]	0.249	0.0023	0.144	0.033	0.14	0.227	0.334	0.581	4000	1
	theta[267]	0.251	0.0023	0.145	0.038	0.14	0.231	0.342	0.583	4000	1
	theta[268]	0.25	0.0022	0.14	0.038	0.146	0.229	0.336	0.571	4000	1
	theta[269]	0.251	0.0023	0.147	0.038	0.136	0.228	0.344	0.585	4000	1
	theta[270]	0.247	0.0023	0.147	0.033	0.132	0.224	0.334	0.584	4000	1
	theta[271]	0.25	0.0023	0.147	0.034	0.136	0.228	0.343	0.586	4000	1
	theta[272]	0.212	0.0017	0.108	0.05	0.129	0.196	0.279	0.463	4000	1
	theta[273]	0.217	0.0017	0.11	0.049	0.134	0.203	0.287	0.457	4000	1
	theta[274]	0.194	0.001	0.064	0.085	0.148	0.188	0.234	0.337	4000	1
	theta[275]	0.21	0.0013	0.082	0.077	0.149	0.202	0.26	0.392	4000	1
	theta[276]	0.208	0.0013	0.08	0.074	0.148	0.2	0.259	0.384	4000	1
	theta[277]	0.285	0.0025	0.161	0.038	0.159	0.261	0.39	0.643	4000	1
	theta[278]	0.286	0.0025	0.159	0.042	0.164	0.266	0.388	0.637	4000	1
	theta[279]	0.287	0.0025	0.161	0.042	0.162	0.265	0.392	0.648	4000	1
	theta[280]	0.287	0.0025	0.16	0.049	0.162	0.266	0.394	0.649	4000	1
	theta[281]	0.282	0.0025	0.159	0.04	0.159	0.261	0.387	0.634	4000	1
	theta[282]	0.287	0.0026	0.162	0.042	0.16	0.263	0.394	0.645	4000	1
	theta[283]	0.251	0.0019	0.118	0.063	0.161	0.237	0.326	0.51	4000	1
	theta[284]	0.248	0.0019	0.118	0.058	0.16	0.235	0.321	0.516	4000	1
	theta[285]	0.251	0.0019	0.117	0.065	0.161	0.239	0.327	0.514	4000	1
	theta[286]	0.235	0.0016	0.102	0.071	0.159	0.222	0.299	0.455	4000	1
	theta[287]	0.227	0.0014	0.088	0.08	0.163	0.218	0.282	0.424	4000	1
	theta[288]	0.228	0.0014	0.088	0.08	0.163	0.22	0.284	0.419	4000	1
	theta[289]	0.233	0.0012	0.078	0.098	0.178	0.226	0.282	0.401	4000	1
	theta[290]	0.25	0.0015	0.093	0.092	0.182	0.242	0.31	0.453	4000	1
	theta[291]	0.267	0.0018	0.111	0.084	0.185	0.255	0.338	0.51	4000	1
	theta[292]	0.251	0.0013	0.079	0.113	0.194	0.246	0.302	0.418	4000	1
	theta[293]	0.246	9e-4	0.058	0.142	0.202	0.242	0.285	0.363	4000	1
	theta[294]	0.251	9e-4	0.059	0.146	0.207	0.247	0.29	0.374	4000	1
	theta[295]	0.333	0.0029	0.181	0.051	0.189	0.313	0.458	0.718	4000	1
	theta[296]	0.334	0.0028	0.177	0.051	0.195	0.321	0.449	0.708	4000	1
	theta[297]	0.335	0.0029	0.184	0.049	0.19	0.313	0.463	0.723	4000	1
	theta[298]	0.331	0.0028	0.179	0.049	0.192	0.311	0.447	0.721	4000	1
	theta[299]	0.334	0.0028	0.179	0.056	0.193	0.316	0.457	0.719	4000	1
	theta[300]	0.331	0.0028	0.177	0.053	0.191	0.31	0.452	0.706	4000	1
	theta[301]	0.334	0.0028	0.178	0.05	0.196	0.312	0.458	0.722	4000	1
	theta[302]	0.333	0.0028	0.177	0.054	0.192	0.318	0.458	0.708	4000	1
	theta[303]	0.3	0.0021	0.135	0.079	0.2	0.288	0.386	0.594	4000	1
	theta[304]	0.302	0.0021	0.136	0.077	0.202	0.289	0.388	0.592	4000	1
	theta[305]	0.3	0.0022	0.14	0.073	0.194	0.286	0.392	0.598	4000	1
	theta[306]	0.302	0.0022	0.14	0.077	0.196	0.287	0.391	0.611	4000	1
	theta[307]	0.271	0.0014	0.086	0.123	0.209	0.264	0.327	0.451	4000	1
	theta[308]	0.256	8e-4	0.051	0.165	0.221	0.254	0.29	0.362	4000	1
	theta[309]	0.282	0.0012	0.076	0.144	0.228	0.277	0.33	0.441	4000	1
	theta[310]	0.281	0.0013	0.079	0.141	0.226	0.276	0.33	0.451	4000	1
	theta[311]	0.334	0.0024	0.151	0.082	0.219	0.322	0.436	0.65	4000	1
	theta[312]	0.313	0.0018	0.113	0.122	0.232	0.304	0.386	0.553	4000	1
	theta[313]	0.307	0.0015	0.094	0.145	0.237	0.301	0.367	0.502	4000	1
	theta[314]	0.332	0.0021	0.13	0.104	0.238	0.323	0.419	0.601	4000	1
	theta[315]	0.319	0.0016	0.099	0.146	0.247	0.311	0.386	0.529	4000	1
	theta[316]	0.326	0.001	0.065	0.21	0.28	0.324	0.367	0.46	4000	1
	theta[317]	0.402	0.0032	0.2	0.061	0.246	0.391	0.545	0.803	4000	1
	theta[318]	0.397	0.0032	0.203	0.068	0.235	0.389	0.544	0.807	4000	1
	theta[319]	0.401	0.0032	0.2	0.071	0.244	0.381	0.546	0.818	4000	1
	theta[320]	0.402	0.0032	0.2	0.072	0.247	0.389	0.541	0.803	4000	1
	theta[321]	0.404	0.0032	0.2	0.072	0.248	0.391	0.544	0.813	4000	1
	theta[322]	0.404	0.0033	0.207	0.064	0.24	0.391	0.557	0.82	4000	1
	theta[323]	0.403	0.0032	0.203	0.07	0.242	0.386	0.55	0.82	4000	1
	theta[324]	0.402	0.0031	0.199	0.071	0.25	0.386	0.544	0.811	4000	1
	theta[325]	0.398	0.0031	0.198	0.07	0.245	0.384	0.54	0.816	4000	1
	theta[326]	0.401	0.0031	0.199	0.07	0.24	0.392	0.549	0.801	4000	1
	theta[327]	0.375	0.0026	0.165	0.099	0.25	0.362	0.487	0.719	4000	1
	theta[328]	0.372	0.0025	0.159	0.096	0.253	0.361	0.477	0.703	4000	1
	theta[329]	0.373	0.0025	0.161	0.099	0.255	0.361	0.48	0.701	4000	1
	theta[330]	0.374	0.0026	0.162	0.1	0.251	0.364	0.481	0.704	4000	1
	theta[331]	0.375	0.0025	0.156	0.104	0.259	0.365	0.482	0.695	4000	1
	theta[332]	0.377	0.0025	0.161	0.099	0.258	0.366	0.483	0.714	4000	1
	theta[333]	0.376	0.0025	0.161	0.1	0.257	0.368	0.483	0.717	4000	1
	theta[334]	0.376	0.0026	0.166	0.086	0.252	0.366	0.489	0.722	4000	1
	theta[335]	0.374	0.0026	0.162	0.099	0.253	0.362	0.486	0.714	4000	1
	theta[336]	0.358	0.002	0.125	0.137	0.267	0.348	0.441	0.617	4000	1
	theta[337]	0.357	0.0019	0.123	0.136	0.268	0.348	0.441	0.612	4000	1
	theta[338]	0.358	0.002	0.127	0.139	0.264	0.349	0.444	0.63	4000	1
	theta[339]	0.357	0.0019	0.123	0.139	0.268	0.35	0.442	0.608	4000	1
	theta[340]	0.35	0.0017	0.107	0.162	0.27	0.345	0.422	0.563	4000	1
	theta[341]	0.348	0.0016	0.101	0.169	0.275	0.345	0.414	0.555	4000	1
	theta[342]	0.384	0.0021	0.13	0.155	0.285	0.377	0.474	0.645	4000	1
	theta[343]	0.43	0.0028	0.175	0.123	0.297	0.424	0.557	0.778	4000	1
	theta[344]	0.429	0.0028	0.176	0.113	0.296	0.423	0.556	0.779	4000	1
	theta[345]	0.417	0.0021	0.134	0.176	0.316	0.413	0.512	0.678	4000	1
	theta[346]	0.417	0.0021	0.134	0.17	0.323	0.411	0.507	0.699	4000	1
	theta[347]	0.419	0.0022	0.137	0.169	0.319	0.414	0.515	0.692	4000	1
	theta[348]	0.495	0.0035	0.221	0.099	0.323	0.497	0.665	0.898	4000	1
	theta[349]	0.5	0.0036	0.228	0.085	0.325	0.502	0.683	0.91	4000	1
	theta[350]	0.5	0.0035	0.221	0.097	0.331	0.496	0.665	0.908	4000	1
	theta[351]	0.501	0.0036	0.226	0.086	0.325	0.504	0.677	0.905	4000	1
	theta[352]	0.499	0.0034	0.218	0.099	0.331	0.5	0.664	0.899	4000	1
	theta[353]	0.505	0.0035	0.219	0.104	0.335	0.505	0.675	0.902	4000	1
	theta[354]	0.501	0.0036	0.227	0.094	0.323	0.5	0.676	0.911	4000	1
	theta[355]	0.499	0.0035	0.223	0.096	0.324	0.502	0.676	0.898	4000	1
	theta[356]	0.496	0.0036	0.225	0.084	0.321	0.497	0.674	0.904	4000	1
	theta[357]	0.496	0.0035	0.218	0.1	0.329	0.499	0.668	0.89	4000	1
	theta[358]	0.5	0.0036	0.228	0.089	0.324	0.503	0.677	0.911	4000	1
	theta[359]	0.493	0.0034	0.218	0.098	0.329	0.493	0.662	0.891	4000	1
	theta[360]	0.506	0.0037	0.232	0.089	0.324	0.509	0.692	0.914	4000	1
	theta[361]	0.499	0.0031	0.194	0.14	0.356	0.499	0.644	0.862	4000	1
	theta[362]	0.505	0.003	0.188	0.154	0.368	0.501	0.648	0.844	4000	1
	theta[363]	0.502	0.003	0.189	0.144	0.362	0.5	0.643	0.848	4000	1
	theta[364]	0.503	0.0029	0.185	0.154	0.367	0.508	0.638	0.843	4000	1
	theta[365]	0.502	0.003	0.192	0.149	0.359	0.501	0.646	0.858	4000	1
	theta[366]	0.497	0.0027	0.169	0.183	0.373	0.497	0.619	0.823	4000	1
	theta[367]	0.5	0.0023	0.149	0.214	0.395	0.5	0.605	0.79	4000	1
	theta[368]	0.558	0.0025	0.157	0.25	0.446	0.563	0.671	0.843	4000	1
	theta[369]	0.595	0.0031	0.195	0.197	0.455	0.608	0.747	0.922	4000	1
	theta[370]	0.6	0.0032	0.204	0.192	0.45	0.612	0.761	0.935	4000	1
	theta[371]	0.596	0.0032	0.202	0.183	0.455	0.612	0.753	0.928	4000	1
	theta[372]	0.643	0.002	0.125	0.379	0.558	0.65	0.737	0.856	4000	1
	theta[373]	0.653	0.0014	0.091	0.465	0.591	0.657	0.718	0.82	4000	1
	theta[374]	0.686	0.0018	0.116	0.437	0.605	0.696	0.774	0.887	4000	1
	theta[375]	0.667	0.0037	0.234	0.161	0.507	0.704	0.864	0.987	4000	1
	theta[376]	0.661	0.0037	0.235	0.158	0.492	0.7	0.858	0.988	4000	1
	theta[377]	0.661	0.0037	0.234	0.154	0.5	0.695	0.859	0.988	4000	1
	theta[378]	0.668	0.0037	0.234	0.153	0.504	0.711	0.865	0.986	4000	1
	theta[379]	0.668	0.0037	0.235	0.16	0.496	0.708	0.871	0.987	4000	1
	theta[380]	0.664	0.0038	0.238	0.151	0.496	0.707	0.861	0.99	4000	1
	theta[381]	0.665	0.0038	0.24	0.159	0.487	0.708	0.874	0.987	4000	1
	theta[382]	0.669	0.0038	0.238	0.153	0.5	0.714	0.871	0.985	4000	1
	theta[383]	0.667	0.0037	0.236	0.167	0.497	0.705	0.87	0.985	4000	1
	theta[384]	0.667	0.0037	0.236	0.165	0.5	0.709	0.868	0.986	4000	1
	theta[385]	0.668	0.0037	0.234	0.158	0.5	0.712	0.864	0.987	4000	1
	theta[386]	0.666	0.0038	0.238	0.149	0.5	0.711	0.868	0.988	4000	1
	theta[387]	0.751	0.0031	0.194	0.275	0.636	0.796	0.91	0.991	4000	1
	theta[388]	0.749	0.0031	0.196	0.289	0.626	0.796	0.911	0.991	4000	1
	theta[389]	0.75	0.003	0.189	0.295	0.638	0.788	0.905	0.99	4000	1
	theta[390]	0.748	0.003	0.19	0.298	0.627	0.787	0.902	0.99	4000	1
	theta[391]	0.801	0.0026	0.162	0.398	0.71	0.842	0.93	0.993	4000	1
	lp__	-1865.685	0.4485	15.483	-1899.399	-1875.317	-1864.98	-1855.073	-1837.378	1192	1

view raw fit_summary_binom.tsv hosted with ❤ by GitHub

単純に計算したときのように0%や100%のような推定採用率にはならないことがわかります。一方で、採用率の全体傾向がまったく考慮されていないため、応募1件採用0件の求人の採用率期待値がおよそ33%になるなど、採用率としては好ましくない結果も見られます。

では、採用率の事前分布としてベータ分布を設定したモデルで推定してみましょう。ここではベータ分布のパラメータにα=3$\alpha =3$とβ=13$\beta =13$を使います（理由は後述します）。固定パラメータを使うのでプレート図は同じで、モデルとコードは以下のように事前分布の部分が追加されます。

Rコード（クリックすると展開されます）

library(rstan)
library(tidyverse)

dat <- read_csv("sample.csv")

stan_dat <-
  list(M = nrow(dat),
       N = dat$N,
       R = dat$R)

fit <- stan(file = 'binom_beta.stan', 
            data = stan_dat,
            seed = 123)

Stanコード(binom_beta.stan)（クリックすると展開されます）

data {
  int M;
  int<lower=0> R[M];  // 応募数(分母)
  int<lower=0> N[M];  // 採用数(分子)
}
 
parameters {
  vector<lower=0, upper=1>[M] theta;  // 採用率
}
 
model {
  R ~ binomial(N, theta);
  theta ~ beta(3, 13);     // 事前分布
}

推定結果のサマリは以下のようになります。

推定結果のサマリ（クリックすると展開されます）

	variable	mean	se_mean	sd	2.5%	25%	50%	75%	97.5%	n_eff	Rhat
	theta[1]	0.176	0.0014	0.089	0.042	0.108	0.165	0.229	0.384	4000	1
	theta[2]	0.178	0.0014	0.09	0.042	0.108	0.165	0.236	0.371	4000	1
	theta[3]	0.174	0.0014	0.088	0.04	0.109	0.164	0.226	0.38	4000	1
	theta[4]	0.175	0.0014	0.09	0.04	0.108	0.163	0.23	0.379	4000	1
	theta[5]	0.176	0.0014	0.09	0.041	0.109	0.165	0.227	0.378	4000	1
	theta[6]	0.176	0.0014	0.089	0.042	0.108	0.162	0.231	0.377	4000	1
	theta[7]	0.176	0.0014	0.088	0.041	0.11	0.164	0.23	0.375	4000	1
	theta[8]	0.177	0.0014	0.088	0.042	0.112	0.165	0.23	0.377	4000	1
	theta[9]	0.178	0.0014	0.089	0.043	0.112	0.166	0.23	0.39	4000	1
	theta[10]	0.178	0.0015	0.092	0.039	0.11	0.166	0.233	0.391	4000	1
	theta[11]	0.176	0.0014	0.088	0.042	0.11	0.163	0.23	0.375	4000	1
	theta[12]	0.176	0.0014	0.091	0.039	0.107	0.164	0.232	0.39	4000	1
	theta[13]	0.176	0.0014	0.091	0.042	0.105	0.164	0.233	0.388	4000	1
	theta[14]	0.177	0.0014	0.087	0.041	0.112	0.165	0.228	0.38	4000	1
	theta[15]	0.176	0.0014	0.091	0.042	0.107	0.163	0.232	0.383	4000	1
	theta[16]	0.175	0.0014	0.09	0.038	0.108	0.16	0.23	0.378	4000	1
	theta[17]	0.177	0.0014	0.086	0.046	0.112	0.165	0.228	0.376	4000	1
	theta[18]	0.176	0.0014	0.089	0.042	0.11	0.164	0.227	0.379	4000	1
	theta[19]	0.177	0.0014	0.087	0.042	0.112	0.165	0.231	0.375	4000	1
	theta[20]	0.178	0.0015	0.095	0.036	0.107	0.163	0.235	0.398	4000	1
	theta[21]	0.176	0.0014	0.089	0.041	0.109	0.165	0.232	0.38	4000	1
	theta[22]	0.176	0.0014	0.087	0.04	0.111	0.165	0.23	0.377	4000	1
	theta[23]	0.175	0.0014	0.088	0.041	0.109	0.163	0.229	0.375	4000	1
	theta[24]	0.178	0.0014	0.09	0.038	0.11	0.165	0.233	0.389	4000	1
	theta[25]	0.177	0.0014	0.086	0.043	0.112	0.165	0.229	0.368	4000	1
	theta[26]	0.178	0.0015	0.092	0.041	0.107	0.165	0.235	0.391	4000	1
	theta[27]	0.175	0.0014	0.09	0.041	0.108	0.163	0.224	0.385	4000	1
	theta[28]	0.177	0.0014	0.089	0.039	0.111	0.166	0.23	0.384	4000	1
	theta[29]	0.175	0.0014	0.089	0.038	0.11	0.165	0.229	0.379	4000	1
	theta[30]	0.177	0.0014	0.09	0.041	0.11	0.166	0.23	0.39	4000	1
	theta[31]	0.176	0.0014	0.087	0.045	0.11	0.163	0.23	0.372	4000	1
	theta[32]	0.175	0.0014	0.091	0.037	0.107	0.161	0.232	0.384	4000	1
	theta[33]	0.176	0.0014	0.089	0.04	0.109	0.164	0.231	0.379	4000	1
	theta[34]	0.176	0.0014	0.089	0.043	0.11	0.164	0.229	0.378	4000	1
	theta[35]	0.178	0.0015	0.093	0.038	0.109	0.165	0.234	0.401	4000	1
	theta[36]	0.176	0.0014	0.091	0.038	0.111	0.163	0.229	0.388	4000	1
	theta[37]	0.177	0.0014	0.089	0.041	0.111	0.165	0.229	0.382	4000	1
	theta[38]	0.176	0.0014	0.086	0.044	0.112	0.165	0.229	0.377	4000	1
	theta[39]	0.176	0.0014	0.089	0.038	0.111	0.164	0.229	0.382	4000	1
	theta[40]	0.177	0.0015	0.093	0.039	0.108	0.163	0.231	0.391	4000	1
	theta[41]	0.178	0.0014	0.092	0.039	0.11	0.166	0.233	0.386	4000	1
	theta[42]	0.177	0.0014	0.09	0.039	0.111	0.164	0.23	0.389	4000	1
	theta[43]	0.178	0.0014	0.09	0.043	0.109	0.166	0.232	0.379	4000	1
	theta[44]	0.175	0.0014	0.086	0.042	0.111	0.165	0.227	0.369	4000	1
	theta[45]	0.177	0.0014	0.091	0.037	0.108	0.165	0.234	0.381	4000	1
	theta[46]	0.177	0.0014	0.089	0.042	0.111	0.165	0.231	0.384	4000	1
	theta[47]	0.176	0.0014	0.09	0.042	0.11	0.166	0.23	0.386	4000	1
	theta[48]	0.176	0.0014	0.091	0.04	0.107	0.163	0.23	0.388	4000	1
	theta[49]	0.175	0.0014	0.089	0.039	0.108	0.163	0.23	0.38	4000	1
	theta[50]	0.176	0.0014	0.089	0.04	0.11	0.163	0.23	0.383	4000	1
	theta[51]	0.176	0.0014	0.09	0.04	0.11	0.162	0.228	0.385	4000	1
	theta[52]	0.176	0.0014	0.089	0.042	0.107	0.162	0.231	0.383	4000	1
	theta[53]	0.177	0.0014	0.092	0.04	0.108	0.162	0.23	0.392	4000	1
	theta[54]	0.176	0.0014	0.091	0.041	0.107	0.162	0.23	0.395	4000	1
	theta[55]	0.176	0.0014	0.089	0.04	0.108	0.163	0.231	0.379	4000	1
	theta[56]	0.177	0.0014	0.089	0.042	0.109	0.164	0.232	0.377	4000	1
	theta[57]	0.174	0.0014	0.088	0.039	0.108	0.16	0.228	0.378	4000	1
	theta[58]	0.177	0.0014	0.091	0.039	0.108	0.163	0.231	0.391	4000	1
	theta[59]	0.176	0.0014	0.089	0.042	0.109	0.163	0.232	0.385	4000	1
	theta[60]	0.176	0.0014	0.091	0.038	0.109	0.163	0.229	0.395	4000	1
	theta[61]	0.177	0.0014	0.091	0.041	0.109	0.164	0.232	0.385	4000	1
	theta[62]	0.176	0.0015	0.094	0.037	0.105	0.162	0.233	0.399	4000	1
	theta[63]	0.177	0.0015	0.092	0.039	0.106	0.162	0.235	0.388	4000	1
	theta[64]	0.176	0.0014	0.09	0.043	0.108	0.163	0.23	0.385	4000	1
	theta[65]	0.177	0.0014	0.088	0.042	0.112	0.164	0.229	0.378	4000	1
	theta[66]	0.179	0.0015	0.092	0.038	0.109	0.166	0.235	0.393	4000	1
	theta[67]	0.176	0.0014	0.088	0.042	0.11	0.162	0.228	0.379	4000	1
	theta[68]	0.176	0.0014	0.089	0.041	0.107	0.164	0.23	0.379	4000	1
	theta[69]	0.178	0.0014	0.091	0.041	0.11	0.164	0.236	0.381	4000	1
	theta[70]	0.177	0.0014	0.092	0.04	0.108	0.163	0.235	0.384	4000	1
	theta[71]	0.179	0.0014	0.089	0.041	0.111	0.168	0.232	0.383	4000	1
	theta[72]	0.177	0.0014	0.091	0.04	0.109	0.163	0.233	0.389	4000	1
	theta[73]	0.176	0.0014	0.091	0.04	0.107	0.163	0.23	0.381	4000	1
	theta[74]	0.176	0.0014	0.092	0.04	0.106	0.162	0.231	0.386	4000	1
	theta[75]	0.178	0.0015	0.093	0.039	0.107	0.164	0.234	0.39	4000	1
	theta[76]	0.178	0.0014	0.091	0.041	0.11	0.164	0.234	0.387	4000	1
	theta[77]	0.176	0.0014	0.091	0.04	0.107	0.162	0.234	0.382	4000	1
	theta[78]	0.177	0.0014	0.091	0.04	0.108	0.164	0.23	0.39	4000	1
	theta[79]	0.178	0.0015	0.092	0.04	0.107	0.164	0.233	0.387	4000	1
	theta[80]	0.176	0.0014	0.091	0.039	0.109	0.162	0.231	0.389	4000	1
	theta[81]	0.176	0.0015	0.092	0.04	0.105	0.163	0.231	0.383	4000	1
	theta[82]	0.177	0.0014	0.089	0.042	0.112	0.165	0.231	0.381	4000	1
	theta[83]	0.176	0.0014	0.086	0.044	0.11	0.165	0.23	0.372	4000	1
	theta[84]	0.178	0.0014	0.092	0.041	0.109	0.164	0.234	0.391	4000	1
	theta[85]	0.178	0.0014	0.088	0.044	0.111	0.165	0.231	0.382	4000	1
	theta[86]	0.176	0.0014	0.088	0.043	0.109	0.165	0.231	0.372	4000	1
	theta[87]	0.175	0.0014	0.09	0.04	0.106	0.164	0.228	0.379	4000	1
	theta[88]	0.167	0.0014	0.086	0.038	0.102	0.155	0.218	0.366	4000	1
	theta[89]	0.168	0.0014	0.087	0.038	0.101	0.155	0.221	0.364	4000	1
	theta[90]	0.165	0.0013	0.085	0.038	0.103	0.153	0.216	0.368	4000	1
	theta[91]	0.167	0.0014	0.085	0.037	0.104	0.154	0.218	0.364	4000	1
	theta[92]	0.165	0.0013	0.085	0.036	0.103	0.151	0.215	0.365	4000	1
	theta[93]	0.167	0.0013	0.084	0.039	0.103	0.155	0.219	0.355	4000	1
	theta[94]	0.167	0.0014	0.087	0.036	0.103	0.153	0.219	0.373	4000	1
	theta[95]	0.168	0.0014	0.086	0.038	0.105	0.154	0.219	0.369	4000	1
	theta[96]	0.166	0.0013	0.084	0.038	0.104	0.155	0.215	0.367	4000	1
	theta[97]	0.166	0.0013	0.084	0.038	0.102	0.155	0.215	0.361	4000	1
	theta[98]	0.166	0.0014	0.088	0.038	0.099	0.151	0.221	0.366	4000	1
	theta[99]	0.167	0.0014	0.087	0.038	0.102	0.153	0.22	0.365	4000	1
	theta[100]	0.168	0.0013	0.085	0.039	0.106	0.157	0.218	0.368	4000	1
	theta[101]	0.167	0.0014	0.087	0.039	0.102	0.153	0.218	0.368	4000	1
	theta[102]	0.167	0.0014	0.086	0.037	0.104	0.155	0.214	0.371	4000	1
	theta[103]	0.167	0.0013	0.084	0.041	0.103	0.155	0.217	0.354	4000	1
	theta[104]	0.166	0.0014	0.086	0.04	0.1	0.152	0.218	0.366	4000	1
	theta[105]	0.166	0.0013	0.085	0.038	0.103	0.155	0.217	0.36	4000	1
	theta[106]	0.166	0.0013	0.084	0.037	0.104	0.155	0.214	0.368	4000	1
	theta[107]	0.165	0.0014	0.085	0.039	0.101	0.153	0.218	0.364	4000	1
	theta[108]	0.167	0.0014	0.087	0.035	0.103	0.154	0.219	0.365	4000	1
	theta[109]	0.167	0.0013	0.085	0.039	0.103	0.155	0.218	0.363	4000	1
	theta[110]	0.167	0.0013	0.084	0.039	0.104	0.153	0.219	0.362	4000	1
	theta[111]	0.166	0.0013	0.083	0.039	0.105	0.155	0.215	0.359	4000	1
	theta[112]	0.167	0.0014	0.086	0.038	0.103	0.155	0.219	0.366	4000	1
	theta[113]	0.167	0.0014	0.088	0.036	0.102	0.153	0.218	0.37	4000	1
	theta[114]	0.166	0.0013	0.084	0.04	0.103	0.154	0.215	0.368	4000	1
	theta[115]	0.167	0.0014	0.087	0.035	0.103	0.155	0.22	0.364	4000	1
	theta[116]	0.168	0.0014	0.088	0.037	0.103	0.155	0.222	0.366	4000	1
	theta[117]	0.167	0.0013	0.085	0.04	0.104	0.155	0.217	0.368	4000	1
	theta[118]	0.166	0.0013	0.084	0.039	0.102	0.153	0.217	0.36	4000	1
	theta[119]	0.168	0.0014	0.087	0.037	0.102	0.155	0.218	0.367	4000	1
	theta[120]	0.167	0.0014	0.087	0.038	0.102	0.154	0.217	0.365	4000	1
	theta[121]	0.166	0.0014	0.088	0.033	0.1	0.152	0.22	0.371	4000	1
	theta[122]	0.167	0.0014	0.089	0.035	0.101	0.153	0.219	0.38	4000	1
	theta[123]	0.167	0.0013	0.084	0.04	0.103	0.152	0.218	0.357	4000	1
	theta[124]	0.167	0.0013	0.085	0.038	0.101	0.156	0.218	0.362	4000	1
	theta[125]	0.166	0.0013	0.084	0.039	0.104	0.155	0.213	0.366	4000	1
	theta[126]	0.167	0.0014	0.086	0.036	0.102	0.155	0.217	0.363	4000	1
	theta[127]	0.167	0.0014	0.086	0.037	0.103	0.154	0.216	0.368	4000	1
	theta[128]	0.165	0.0013	0.085	0.038	0.102	0.153	0.217	0.361	4000	1
	theta[129]	0.165	0.0014	0.086	0.036	0.101	0.153	0.215	0.367	4000	1
	theta[130]	0.166	0.0013	0.084	0.04	0.104	0.154	0.218	0.356	4000	1
	theta[131]	0.167	0.0014	0.09	0.035	0.098	0.152	0.222	0.38	4000	1
	theta[132]	0.167	0.0013	0.084	0.039	0.103	0.154	0.22	0.354	4000	1
	theta[133]	0.167	0.0014	0.086	0.038	0.101	0.156	0.217	0.366	4000	1
	theta[134]	0.166	0.0013	0.085	0.039	0.102	0.153	0.216	0.362	4000	1
	theta[135]	0.167	0.0013	0.084	0.038	0.103	0.155	0.217	0.359	4000	1
	theta[136]	0.166	0.0014	0.087	0.038	0.1	0.153	0.218	0.365	4000	1
	theta[137]	0.167	0.0014	0.087	0.036	0.103	0.154	0.217	0.374	4000	1
	theta[138]	0.165	0.0013	0.082	0.039	0.104	0.155	0.214	0.359	4000	1
	theta[139]	0.166	0.0013	0.083	0.04	0.104	0.155	0.217	0.355	4000	1
	theta[140]	0.167	0.0014	0.087	0.035	0.103	0.154	0.219	0.367	4000	1
	theta[141]	0.168	0.0013	0.085	0.04	0.103	0.156	0.221	0.364	4000	1
	theta[142]	0.167	0.0014	0.086	0.038	0.101	0.154	0.217	0.358	4000	1
	theta[143]	0.159	0.0013	0.081	0.035	0.099	0.147	0.207	0.346	4000	1
	theta[144]	0.157	0.0013	0.082	0.035	0.098	0.145	0.203	0.353	4000	1
	theta[145]	0.158	0.0013	0.081	0.034	0.1	0.145	0.204	0.347	4000	1
	theta[146]	0.158	0.0012	0.079	0.038	0.1	0.145	0.205	0.343	4000	1
	theta[147]	0.158	0.0013	0.083	0.037	0.095	0.144	0.208	0.349	4000	1
	theta[148]	0.157	0.0013	0.082	0.035	0.096	0.145	0.205	0.346	4000	1
	theta[149]	0.159	0.0013	0.084	0.035	0.097	0.146	0.209	0.355	4000	1
	theta[150]	0.16	0.0013	0.083	0.037	0.096	0.147	0.211	0.351	4000	1
	theta[151]	0.158	0.0013	0.082	0.037	0.095	0.147	0.207	0.341	4000	1
	theta[152]	0.159	0.0013	0.083	0.035	0.096	0.147	0.208	0.352	4000	1
	theta[153]	0.158	0.0013	0.081	0.035	0.098	0.145	0.205	0.347	4000	1
	theta[154]	0.157	0.0012	0.078	0.041	0.099	0.145	0.205	0.339	4000	1
	theta[155]	0.158	0.0013	0.081	0.036	0.098	0.147	0.208	0.342	4000	1
	theta[156]	0.159	0.0013	0.083	0.035	0.097	0.146	0.209	0.345	4000	1
	theta[157]	0.158	0.0013	0.083	0.033	0.095	0.145	0.209	0.351	4000	1
	theta[158]	0.157	0.0013	0.081	0.035	0.097	0.145	0.203	0.345	4000	1
	theta[159]	0.158	0.0013	0.082	0.035	0.097	0.145	0.206	0.352	4000	1
	theta[160]	0.159	0.0013	0.084	0.036	0.096	0.145	0.209	0.352	4000	1
	theta[161]	0.158	0.0013	0.081	0.039	0.097	0.146	0.202	0.344	4000	1
	theta[162]	0.151	0.0013	0.08	0.032	0.09	0.138	0.199	0.335	4000	1
	theta[163]	0.151	0.0012	0.078	0.035	0.092	0.14	0.196	0.34	4000	1
	theta[164]	0.15	0.0012	0.078	0.035	0.091	0.137	0.196	0.338	4000	1
	theta[165]	0.148	0.0012	0.075	0.034	0.09	0.138	0.194	0.317	4000	1
	theta[166]	0.15	0.0012	0.077	0.035	0.093	0.137	0.195	0.328	4000	1
	theta[167]	0.15	0.0012	0.076	0.034	0.093	0.139	0.196	0.324	4000	1
	theta[168]	0.149	0.0012	0.078	0.035	0.089	0.137	0.196	0.326	4000	1
	theta[169]	0.15	0.0012	0.079	0.034	0.091	0.137	0.197	0.333	4000	1
	theta[170]	0.15	0.0012	0.076	0.037	0.091	0.139	0.196	0.321	4000	1
	theta[171]	0.15	0.0012	0.077	0.035	0.09	0.138	0.196	0.333	4000	1
	theta[172]	0.149	0.0012	0.078	0.032	0.093	0.139	0.192	0.339	4000	1
	theta[173]	0.149	0.0013	0.079	0.033	0.09	0.137	0.197	0.332	4000	1
	theta[174]	0.15	0.0012	0.079	0.037	0.09	0.14	0.196	0.33	4000	1
	theta[175]	0.149	0.0013	0.079	0.032	0.089	0.137	0.197	0.332	4000	1
	theta[176]	0.151	0.0012	0.076	0.036	0.094	0.14	0.196	0.324	4000	1
	theta[177]	0.15	0.0012	0.078	0.033	0.091	0.138	0.195	0.334	4000	1
	theta[178]	0.149	0.0012	0.078	0.032	0.092	0.137	0.192	0.33	4000	1
	theta[179]	0.15	0.0013	0.079	0.032	0.09	0.138	0.194	0.34	4000	1
	theta[180]	0.151	0.0012	0.079	0.035	0.093	0.138	0.198	0.336	4000	1
	theta[181]	0.151	0.0012	0.079	0.033	0.091	0.141	0.199	0.334	4000	1
	theta[182]	0.142	0.0012	0.074	0.032	0.086	0.131	0.187	0.312	4000	1
	theta[183]	0.141	0.0011	0.073	0.032	0.088	0.129	0.183	0.31	4000	1
	theta[184]	0.144	0.0012	0.075	0.033	0.086	0.133	0.19	0.309	4000	1
	theta[185]	0.143	0.0012	0.075	0.03	0.087	0.132	0.188	0.319	4000	1
	theta[186]	0.144	0.0012	0.075	0.032	0.086	0.132	0.187	0.319	4000	1
	theta[187]	0.142	0.0012	0.075	0.032	0.087	0.13	0.187	0.318	4000	1
	theta[188]	0.142	0.0012	0.074	0.031	0.086	0.13	0.185	0.313	4000	1
	theta[189]	0.143	0.0012	0.073	0.032	0.088	0.131	0.188	0.315	4000	1
	theta[190]	0.142	0.0011	0.072	0.033	0.088	0.132	0.185	0.309	4000	1
	theta[191]	0.144	0.0012	0.075	0.032	0.089	0.133	0.188	0.314	4000	1
	theta[192]	0.144	0.0012	0.075	0.031	0.088	0.134	0.188	0.318	4000	1
	theta[193]	0.142	0.0012	0.074	0.031	0.086	0.131	0.186	0.316	4000	1
	theta[194]	0.144	0.0012	0.077	0.032	0.085	0.132	0.189	0.329	4000	1
	theta[195]	0.145	0.0012	0.075	0.034	0.088	0.133	0.189	0.319	4000	1
	theta[196]	0.143	0.0012	0.075	0.032	0.088	0.132	0.185	0.324	4000	1
	theta[197]	0.142	0.0012	0.073	0.033	0.087	0.132	0.184	0.313	4000	1
	theta[198]	0.144	0.0012	0.077	0.031	0.087	0.133	0.187	0.326	4000	1
	theta[199]	0.142	0.0011	0.073	0.035	0.087	0.131	0.187	0.313	4000	1
	theta[200]	0.136	0.0011	0.071	0.029	0.085	0.126	0.177	0.306	4000	1
	theta[201]	0.135	0.0011	0.072	0.03	0.081	0.123	0.176	0.307	4000	1
	theta[202]	0.137	0.0011	0.071	0.033	0.084	0.127	0.179	0.301	4000	1
	theta[203]	0.135	0.0011	0.072	0.029	0.081	0.124	0.178	0.302	4000	1
	theta[204]	0.137	0.0011	0.071	0.031	0.084	0.126	0.179	0.305	4000	1
	theta[205]	0.136	0.0011	0.072	0.031	0.081	0.126	0.179	0.3	4000	1
	theta[206]	0.135	0.0012	0.073	0.031	0.08	0.122	0.177	0.309	4000	1
	theta[207]	0.136	0.0012	0.073	0.03	0.082	0.124	0.181	0.305	4000	1
	theta[208]	0.137	0.0011	0.072	0.032	0.083	0.125	0.179	0.304	4000	1
	theta[209]	0.137	0.0012	0.073	0.028	0.083	0.126	0.18	0.305	4000	1
	theta[210]	0.136	0.0011	0.072	0.032	0.082	0.126	0.176	0.305	4000	1
	theta[211]	0.136	0.0011	0.072	0.031	0.082	0.125	0.176	0.307	4000	1
	theta[212]	0.136	0.0011	0.071	0.031	0.083	0.127	0.178	0.306	4000	1
	theta[213]	0.136	0.0011	0.07	0.031	0.083	0.126	0.177	0.304	4000	1
	theta[214]	0.138	0.0011	0.071	0.031	0.084	0.128	0.18	0.305	4000	1
	theta[215]	0.136	0.0011	0.072	0.031	0.082	0.124	0.177	0.311	4000	1
	theta[216]	0.136	0.0011	0.072	0.03	0.082	0.125	0.176	0.303	4000	1
	theta[217]	0.137	0.0011	0.071	0.032	0.084	0.126	0.178	0.299	4000	1
	theta[218]	0.135	0.0011	0.071	0.028	0.083	0.125	0.176	0.302	4000	1
	theta[219]	0.129	0.0011	0.069	0.028	0.078	0.118	0.169	0.289	4000	1
	theta[220]	0.13	0.0011	0.07	0.028	0.077	0.118	0.173	0.291	4000	1
	theta[221]	0.125	0.001	0.066	0.028	0.078	0.114	0.163	0.283	4000	1
	theta[222]	0.125	0.0011	0.067	0.027	0.076	0.114	0.164	0.284	4000	1
	theta[223]	0.124	0.001	0.064	0.028	0.076	0.115	0.16	0.279	4000	1
	theta[224]	0.126	0.001	0.066	0.029	0.076	0.115	0.164	0.279	4000	1
	theta[225]	0.125	0.001	0.065	0.028	0.076	0.116	0.163	0.282	4000	1
	theta[226]	0.126	0.001	0.066	0.029	0.076	0.115	0.166	0.281	4000	1
	theta[227]	0.126	0.0011	0.068	0.026	0.074	0.116	0.166	0.289	4000	1
	theta[228]	0.125	0.001	0.066	0.028	0.075	0.115	0.165	0.274	4000	1
	theta[229]	0.119	0.001	0.064	0.026	0.071	0.11	0.157	0.27	4000	1
	theta[230]	0.122	0.001	0.064	0.027	0.074	0.112	0.159	0.276	4000	1
	theta[231]	0.121	0.0011	0.067	0.025	0.071	0.109	0.16	0.284	4000	1
	theta[232]	0.12	0.001	0.062	0.029	0.074	0.11	0.157	0.262	4000	1
	theta[233]	0.118	0.001	0.063	0.026	0.071	0.109	0.155	0.265	4000	1
	theta[234]	0.116	0.001	0.064	0.025	0.068	0.105	0.153	0.263	4000	1
	theta[235]	0.115	0.001	0.062	0.026	0.068	0.104	0.15	0.263	4000	1
	theta[236]	0.116	0.001	0.061	0.025	0.072	0.107	0.151	0.259	4000	1
	theta[237]	0.111	8e-4	0.053	0.031	0.071	0.103	0.143	0.234	4000	1
	theta[238]	0.109	7e-4	0.045	0.038	0.075	0.104	0.138	0.207	4000	1
	theta[239]	0.136	0.001	0.064	0.038	0.089	0.129	0.174	0.287	4000	1
	theta[240]	0.143	0.0011	0.067	0.041	0.094	0.133	0.182	0.302	4000	1
	theta[241]	0.148	0.0011	0.067	0.043	0.1	0.139	0.187	0.297	4000	1
	theta[242]	0.131	9e-4	0.054	0.045	0.092	0.125	0.165	0.251	4000	1
	theta[243]	0.132	9e-4	0.054	0.048	0.093	0.126	0.166	0.255	4000	1
	theta[244]	0.134	9e-4	0.054	0.046	0.094	0.128	0.167	0.255	4000	1
	theta[245]	0.154	0.0011	0.068	0.048	0.104	0.146	0.194	0.316	4000	1
	theta[246]	0.154	0.0011	0.069	0.046	0.104	0.146	0.197	0.313	4000	1
	theta[247]	0.139	9e-4	0.057	0.049	0.097	0.133	0.174	0.266	4000	1
	theta[248]	0.16	0.0011	0.073	0.047	0.106	0.151	0.201	0.324	4000	1
	theta[249]	0.145	9e-4	0.057	0.055	0.103	0.139	0.181	0.273	4000	1
	theta[250]	0.135	7e-4	0.046	0.057	0.103	0.131	0.162	0.236	4000	1
	theta[251]	0.167	0.0012	0.074	0.053	0.113	0.157	0.213	0.333	4000	1
	theta[252]	0.155	0.001	0.064	0.051	0.109	0.149	0.193	0.299	4000	1
	theta[253]	0.146	7e-4	0.044	0.071	0.114	0.142	0.174	0.241	4000	1
	theta[254]	0.161	0.001	0.062	0.059	0.115	0.155	0.199	0.296	4000	1
	theta[255]	0.152	8e-4	0.051	0.065	0.116	0.147	0.185	0.263	4000	1
	theta[256]	0.175	0.0012	0.078	0.055	0.117	0.166	0.223	0.351	4000	1
	theta[257]	0.175	0.0012	0.076	0.055	0.118	0.166	0.221	0.346	4000	1
	theta[258]	0.173	0.0013	0.079	0.048	0.116	0.162	0.221	0.351	4000	1
	theta[259]	0.176	0.0012	0.077	0.056	0.118	0.166	0.224	0.343	4000	1
	theta[260]	0.165	0.0011	0.069	0.054	0.115	0.157	0.207	0.322	4000	1
	theta[261]	0.168	0.0011	0.068	0.058	0.118	0.159	0.21	0.319	4000	1
	theta[262]	0.162	9e-4	0.06	0.063	0.119	0.155	0.198	0.294	4000	1
	theta[263]	0.162	9e-4	0.058	0.065	0.12	0.156	0.198	0.293	4000	1
	theta[264]	0.172	0.0011	0.069	0.06	0.121	0.166	0.216	0.324	4000	1
	theta[265]	0.172	0.0011	0.07	0.06	0.119	0.164	0.216	0.325	4000	1
	theta[266]	0.182	0.0013	0.079	0.058	0.123	0.172	0.231	0.361	4000	1
	theta[267]	0.182	0.0013	0.082	0.05	0.123	0.173	0.231	0.371	4000	1
	theta[268]	0.182	0.0013	0.08	0.058	0.122	0.172	0.229	0.358	4000	1
	theta[269]	0.182	0.0013	0.079	0.058	0.121	0.174	0.231	0.362	4000	1
	theta[270]	0.182	0.0013	0.08	0.055	0.123	0.172	0.231	0.36	4000	1
	theta[271]	0.183	0.0013	0.08	0.057	0.125	0.174	0.231	0.366	4000	1
	theta[272]	0.179	0.0011	0.07	0.069	0.126	0.171	0.223	0.329	4000	1
	theta[273]	0.178	0.0011	0.072	0.064	0.125	0.17	0.223	0.338	4000	1
	theta[274]	0.18	8e-4	0.053	0.086	0.142	0.175	0.214	0.294	4000	1
	theta[275]	0.185	0.001	0.063	0.078	0.138	0.18	0.226	0.318	4000	1
	theta[276]	0.184	0.001	0.063	0.08	0.14	0.177	0.223	0.324	4000	1
	theta[277]	0.191	0.0013	0.084	0.058	0.129	0.182	0.243	0.377	4000	1
	theta[278]	0.192	0.0014	0.086	0.057	0.126	0.18	0.247	0.377	4000	1
	theta[279]	0.192	0.0014	0.086	0.055	0.127	0.182	0.247	0.387	4000	1
	theta[280]	0.193	0.0014	0.086	0.055	0.129	0.181	0.247	0.387	4000	1
	theta[281]	0.189	0.0013	0.084	0.058	0.126	0.178	0.241	0.376	4000	1
	theta[282]	0.191	0.0013	0.083	0.057	0.13	0.182	0.241	0.376	4000	1
	theta[283]	0.193	0.0011	0.073	0.074	0.14	0.186	0.236	0.354	4000	1
	theta[284]	0.193	0.0012	0.078	0.067	0.136	0.184	0.241	0.369	4000	1
	theta[285]	0.193	0.0012	0.077	0.069	0.136	0.184	0.243	0.363	4000	1
	theta[286]	0.194	0.0011	0.071	0.077	0.142	0.187	0.238	0.348	4000	1
	theta[287]	0.195	0.001	0.065	0.085	0.148	0.189	0.236	0.338	4000	1
	theta[288]	0.194	0.001	0.066	0.082	0.146	0.188	0.237	0.333	4000	1
	theta[289]	0.205	9e-4	0.059	0.099	0.163	0.201	0.243	0.329	4000	1
	theta[290]	0.207	0.0011	0.069	0.089	0.157	0.201	0.251	0.354	4000	1
	theta[291]	0.209	0.0012	0.074	0.086	0.154	0.202	0.254	0.373	4000	1
	theta[292]	0.214	0.001	0.064	0.104	0.168	0.209	0.254	0.352	4000	1
	theta[293]	0.223	8e-4	0.051	0.132	0.188	0.22	0.255	0.332	4000	1
	theta[294]	0.228	8e-4	0.051	0.136	0.193	0.226	0.26	0.339	4000	1
	theta[295]	0.201	0.0014	0.09	0.061	0.133	0.192	0.256	0.4	4000	1
	theta[296]	0.201	0.0013	0.085	0.061	0.139	0.193	0.253	0.391	4000	1
	theta[297]	0.199	0.0014	0.086	0.063	0.135	0.189	0.253	0.387	4000	1
	theta[298]	0.2	0.0014	0.088	0.061	0.135	0.19	0.254	0.396	4000	1
	theta[299]	0.2	0.0014	0.087	0.063	0.137	0.19	0.252	0.401	4000	1
	theta[300]	0.2	0.0014	0.086	0.061	0.137	0.189	0.253	0.392	4000	1
	theta[301]	0.201	0.0014	0.086	0.064	0.137	0.191	0.257	0.393	4000	1
	theta[302]	0.201	0.0014	0.087	0.062	0.137	0.192	0.255	0.393	4000	1
	theta[303]	0.207	0.0013	0.081	0.072	0.147	0.198	0.259	0.388	4000	1
	theta[304]	0.209	0.0013	0.08	0.076	0.15	0.201	0.261	0.387	4000	1
	theta[305]	0.208	0.0013	0.081	0.076	0.15	0.199	0.258	0.387	4000	1
	theta[306]	0.209	0.0013	0.08	0.075	0.15	0.2	0.26	0.383	4000	1
	theta[307]	0.225	0.001	0.066	0.109	0.178	0.221	0.268	0.371	4000	1
	theta[308]	0.239	7e-4	0.045	0.156	0.208	0.237	0.269	0.331	4000	1
	theta[309]	0.238	0.001	0.061	0.13	0.195	0.235	0.28	0.367	4000	1
	theta[310]	0.239	0.001	0.062	0.128	0.196	0.236	0.279	0.371	4000	1
	theta[311]	0.217	0.0013	0.084	0.08	0.153	0.208	0.272	0.401	4000	1
	theta[312]	0.234	0.0012	0.075	0.103	0.179	0.229	0.283	0.398	4000	1
	theta[313]	0.244	0.0011	0.067	0.124	0.194	0.239	0.286	0.389	4000	1
	theta[314]	0.232	0.0013	0.081	0.093	0.174	0.226	0.282	0.405	4000	1
	theta[315]	0.249	0.0011	0.07	0.123	0.198	0.245	0.295	0.399	4000	1
	theta[316]	0.288	9e-4	0.057	0.185	0.25	0.284	0.324	0.408	4000	1
	theta[317]	0.209	0.0014	0.09	0.062	0.141	0.199	0.265	0.408	4000	1
	theta[318]	0.21	0.0015	0.092	0.062	0.142	0.199	0.268	0.412	4000	1
	theta[319]	0.21	0.0015	0.092	0.063	0.141	0.198	0.27	0.409	4000	1
	theta[320]	0.209	0.0014	0.089	0.066	0.144	0.199	0.263	0.406	4000	1
	theta[321]	0.21	0.0014	0.09	0.064	0.145	0.201	0.266	0.407	4000	1
	theta[322]	0.21	0.0015	0.093	0.063	0.14	0.2	0.269	0.421	4000	1
	theta[323]	0.211	0.0014	0.091	0.064	0.143	0.2	0.268	0.415	4000	1
	theta[324]	0.211	0.0014	0.09	0.067	0.144	0.202	0.267	0.413	4000	1
	theta[325]	0.211	0.0014	0.089	0.065	0.147	0.202	0.265	0.414	4000	1
	theta[326]	0.21	0.0014	0.091	0.064	0.142	0.199	0.267	0.415	4000	1
	theta[327]	0.228	0.0013	0.084	0.088	0.165	0.221	0.282	0.407	4000	1
	theta[328]	0.227	0.0014	0.087	0.083	0.163	0.22	0.281	0.418	4000	1
	theta[329]	0.226	0.0013	0.085	0.084	0.162	0.217	0.279	0.408	4000	1
	theta[330]	0.228	0.0013	0.085	0.084	0.168	0.221	0.281	0.413	4000	1
	theta[331]	0.228	0.0014	0.087	0.082	0.163	0.221	0.282	0.416	4000	1
	theta[332]	0.227	0.0014	0.088	0.086	0.162	0.218	0.282	0.422	4000	1
	theta[333]	0.228	0.0014	0.088	0.085	0.165	0.218	0.286	0.425	4000	1
	theta[334]	0.228	0.0013	0.085	0.084	0.167	0.22	0.282	0.415	4000	1
	theta[335]	0.226	0.0014	0.087	0.084	0.16	0.216	0.282	0.419	4000	1
	theta[336]	0.251	0.0013	0.081	0.11	0.193	0.246	0.301	0.425	4000	1
	theta[337]	0.249	0.0013	0.081	0.112	0.191	0.244	0.302	0.422	4000	1
	theta[338]	0.25	0.0013	0.08	0.112	0.19	0.244	0.305	0.422	4000	1
	theta[339]	0.25	0.0013	0.079	0.113	0.194	0.243	0.301	0.423	4000	1
	theta[340]	0.266	0.0012	0.076	0.133	0.21	0.261	0.316	0.429	4000	1
	theta[341]	0.264	0.0012	0.074	0.132	0.212	0.26	0.312	0.421	4000	1
	theta[342]	0.261	0.0013	0.083	0.117	0.2	0.255	0.314	0.438	4000	1
	theta[343]	0.239	0.0014	0.09	0.088	0.174	0.232	0.295	0.443	4000	1
	theta[344]	0.239	0.0014	0.09	0.09	0.173	0.231	0.297	0.433	4000	1
	theta[345]	0.27	0.0013	0.085	0.119	0.21	0.264	0.325	0.445	4000	1
	theta[346]	0.271	0.0013	0.085	0.124	0.21	0.266	0.326	0.45	4000	1
	theta[347]	0.27	0.0014	0.088	0.117	0.208	0.264	0.328	0.458	4000	1
	theta[348]	0.221	0.0015	0.095	0.069	0.151	0.21	0.28	0.432	4000	1
	theta[349]	0.222	0.0015	0.098	0.064	0.15	0.213	0.283	0.44	4000	1
	theta[350]	0.223	0.0015	0.097	0.064	0.152	0.211	0.286	0.438	4000	1
	theta[351]	0.223	0.0015	0.095	0.069	0.153	0.214	0.283	0.433	4000	1
	theta[352]	0.221	0.0015	0.096	0.066	0.151	0.211	0.279	0.43	4000	1
	theta[353]	0.224	0.0015	0.097	0.068	0.152	0.214	0.282	0.443	4000	1
	theta[354]	0.223	0.0015	0.096	0.066	0.153	0.211	0.283	0.433	4000	1
	theta[355]	0.222	0.0015	0.093	0.071	0.155	0.212	0.277	0.427	4000	1
	theta[356]	0.221	0.0015	0.095	0.067	0.149	0.212	0.283	0.431	4000	1
	theta[357]	0.221	0.0015	0.093	0.067	0.152	0.211	0.281	0.43	4000	1
	theta[358]	0.223	0.0015	0.094	0.071	0.151	0.214	0.28	0.433	4000	1
	theta[359]	0.223	0.0015	0.095	0.071	0.152	0.212	0.28	0.434	4000	1
	theta[360]	0.224	0.0015	0.098	0.068	0.152	0.212	0.285	0.446	4000	1
	theta[361]	0.249	0.0015	0.093	0.091	0.18	0.24	0.312	0.45	4000	1
	theta[362]	0.251	0.0015	0.096	0.09	0.18	0.243	0.313	0.464	4000	1
	theta[363]	0.249	0.0015	0.095	0.089	0.18	0.24	0.307	0.457	4000	1
	theta[364]	0.249	0.0015	0.092	0.096	0.183	0.242	0.307	0.447	4000	1
	theta[365]	0.248	0.0015	0.094	0.09	0.179	0.239	0.309	0.452	4000	1
	theta[366]	0.273	0.0015	0.094	0.11	0.204	0.265	0.335	0.47	4000	1
	theta[367]	0.291	0.0015	0.093	0.127	0.223	0.285	0.353	0.49	4000	1
	theta[368]	0.304	0.0015	0.097	0.133	0.234	0.298	0.368	0.507	4000	1
	theta[369]	0.262	0.0015	0.097	0.099	0.192	0.254	0.324	0.467	4000	1
	theta[370]	0.264	0.0016	0.102	0.092	0.189	0.256	0.33	0.484	4000	1
	theta[371]	0.263	0.0015	0.096	0.101	0.194	0.256	0.324	0.473	4000	1
	theta[372]	0.393	0.0014	0.091	0.225	0.328	0.39	0.453	0.578	4000	1
	theta[373]	0.475	0.0013	0.079	0.322	0.42	0.477	0.529	0.627	4000	1
	theta[374]	0.434	0.0014	0.089	0.265	0.371	0.432	0.497	0.608	4000	1
	theta[375]	0.232	0.0016	0.101	0.068	0.158	0.22	0.293	0.462	4000	1
	theta[376]	0.235	0.0016	0.1	0.07	0.161	0.225	0.298	0.452	4000	1
	theta[377]	0.236	0.0016	0.101	0.071	0.161	0.224	0.302	0.459	4000	1
	theta[378]	0.237	0.0017	0.105	0.069	0.159	0.224	0.304	0.465	4000	1
	theta[379]	0.235	0.0015	0.098	0.076	0.164	0.227	0.296	0.456	4000	1
	theta[380]	0.234	0.0016	0.099	0.075	0.161	0.223	0.3	0.45	4000	1
	theta[381]	0.236	0.0016	0.099	0.07	0.162	0.227	0.297	0.455	4000	1
	theta[382]	0.234	0.0015	0.097	0.077	0.162	0.224	0.297	0.439	4000	1
	theta[383]	0.234	0.0015	0.097	0.078	0.163	0.226	0.294	0.439	4000	1
	theta[384]	0.233	0.0016	0.102	0.074	0.157	0.221	0.298	0.465	4000	1
	theta[385]	0.236	0.0016	0.1	0.071	0.164	0.226	0.3	0.458	4000	1
	theta[386]	0.237	0.0016	0.1	0.075	0.163	0.226	0.3	0.46	4000	1
	theta[387]	0.278	0.0016	0.101	0.105	0.205	0.27	0.341	0.505	4000	1
	theta[388]	0.277	0.0016	0.104	0.099	0.201	0.269	0.346	0.497	4000	1
	theta[389]	0.277	0.0017	0.107	0.097	0.197	0.268	0.348	0.505	4000	1
	theta[390]	0.277	0.0016	0.101	0.106	0.201	0.269	0.345	0.488	4000	1
	theta[391]	0.314	0.0017	0.105	0.129	0.239	0.307	0.384	0.537	4000	1
	lp__	-4250.17	0.4191	14.671	-4278.832	-4260.178	-4249.652	-4239.931	-4222.773	1225	1

view raw fit_summary_binom_beta.tsv hosted with ❤ by GitHub

まず、採用がないケースについて見てみると、応募1件採用0件の求人は採用率期待値がおよそ0.176、応募2件採用0件の求人は採用率期待値がおよそ0.166となっています。応募数が1〜2件程度と少なく不確実性が高いので、全体採用率0.1766よりやや低い値として算出されています。また、応募1件採用0件より応募2件採用0件のほうが採用率はより低い可能性が高いため、採用率も低めになっていることが確認できます。さらに、id=234の求人のように応募10件採用0件になると、採用率が低い可能性がさらに高まるので、採用率期待値はおよそ0.116と推定されています。逆に採用が多いケースについて見てみると、応募1件採用1件の求人の採用率期待値はおよそ0.235、応募3件採用3件の求人ではおよそ0.314と推定されています。データが少なく不確実性が高いことを考えると、これらの推定結果は直感的によさそうに思えます。

応募が多いほど推定もより正確になるので採用率の分布の幅はより狭くなります。例として、単純に計算した時の採用率が等しいid=302とid=308の二つの求人について見てみましょう。id=302は応募4件採用1件、id=308は応募72件採用18件の求人です。推定された各々の求人の採用率の分布は以下のようになります。

id=302は応募数が少ないので事前分布の影響を強く受けており、さらに不確実性も高いので分布の幅がid=308と比較して広いことがわかります。一方で、id=308は応募が比較的多いため事前分布の影響が弱く、さらに不確実性も低いので分布の幅が狭いことがわかります。

目論見どおりベータ分布を事前分布として設定することで、直感的によさそうな採用率が推定されているように見えます。しかし実は、推定結果がベータ分布のパラメータα$\alpha$、β$\beta$の値に強く依存するという問題があります。そのため、ベータ分布のパラメータα$\alpha$、β$\beta$を別の固定値に設定すると、全く異なる推定採用率になってしまいます。採用率のヒストグラムを見ても、応募の多い求人が十分にないため適切なパラメータ値まではよくわかりません。そこで、階層ベイズを使うことでベータ分布のパラメータも推定するようにします。

階層ベイズによる比率の推定

事前分布をうまく設定することができれば、直感的によさそうな採用率を推定できることがわかりました。しかし、その事前分布のパラメータをどのように設定すればよいかわからないという問題があることもわかりました。ここではこの問題に対処するため、事前分布のパラメータにも事前分布を設定する、いわゆる階層ベイズを使うことで、採用率の事前分布のパラメータも推定します。

採用率の事前分布には今までと同じようにベータ分布を使いますが、ベータ分布のパラメータα$\alpha$、β$\beta$にも事前分布を設定します。ここでは、後で扱いやすいように以下のような再パラメータ化を行います。μ$\mu$はベータ分布の期待値です。

μκ==αα+βα+β$$\begin{array}{rcl}\mu & =& \frac{\alpha }{\alpha +\beta }\\ \kappa & =& \alpha +\beta \end{array}$$

モデルとコードは以下のようになります。

Rコード（クリックすると展開されます）

library(rstan)
library(tidyverse)

dat <- read_csv("sample.csv")

stan_dat <-
  list(M = nrow(dat),
       N = dat$N,
       R = dat$R)
 
fit <- stan(file = 'hier.stan',
            data = stan_dat,
            seed = 123)

Stanコード(hier.stan)（クリックすると展開されます）

data {
  int M;
  int<lower=0> R[M];  // 応募数(分母)
  int<lower=0> N[M];  // 採用数(分子)
}
 
parameters {
  vector<lower=0, upper=1>[M] theta;  // 採用率
  real<lower=0, upper=1> mu;          // 事前分布(ベータ分布)の期待値(= a / (a + b))
  real<lower=0> kappa;                // a + b
}
 
transformed parameters {
  real<lower=0> a;        // 事前分布(ベータ分布)のパラメータ
  real<lower=0> b;        // 事前分布(ベータ分布)のパラメータ
  a = mu * kappa;
  b = kappa * (1 - mu);
}
 
model {
  R ~ binomial(N, theta);
  theta ~ beta(a, b);     // 事前分布
}

このようにすることで、モデルとデータに合った、事前分布のパラメータ(の分布)が推定されます。ベータ分布のパラメータに固定値のような強い制約を課すのではなく、分布のような緩やかな制約を使っているところがポイントです。採用率の事前分布の条件が緩和されたことで、データに応じてパラメータが自動的に推定されるようになります。階層ベイズの場合も事前分布の事前分布を変更すると推定結果は影響を受けるものの、パラメータがモデルとデータから大きく逸脱した値をとる確率は低くなるため、階層化せず事前分布のパラメータ固定値を変更した時ほど大きな影響は受けることは少ないです。そのため、このようなケースで階層ベイズを使うと恣意的に推定結果を操作するのが難しくなるので、結果の客観性が高まるというメリットもあります。

推定結果は以下のようになります。

推定結果のサマリ（クリックすると展開されます）

	variable	mean	se_mean	sd	2.5%	25%	50%	75%	97.5%	n_eff	Rhat
	theta[1]	0.151	0.0014	0.089	0.023	0.085	0.137	0.199	0.364	4000	1
	theta[2]	0.152	0.0014	0.087	0.026	0.086	0.137	0.202	0.35	4000	1
	theta[3]	0.155	0.0014	0.088	0.026	0.089	0.142	0.207	0.359	4000	1
	theta[4]	0.153	0.0014	0.09	0.023	0.086	0.136	0.202	0.363	4000	1
	theta[5]	0.152	0.0014	0.087	0.022	0.087	0.138	0.206	0.356	4000	1
	theta[6]	0.154	0.0014	0.089	0.023	0.088	0.142	0.205	0.367	4000	1
	theta[7]	0.154	0.0014	0.09	0.022	0.086	0.139	0.206	0.367	4000	1
	theta[8]	0.152	0.0014	0.089	0.022	0.087	0.137	0.205	0.362	4000	1
	theta[9]	0.154	0.0014	0.09	0.025	0.086	0.137	0.207	0.359	4000	1
	theta[10]	0.152	0.0014	0.089	0.023	0.085	0.139	0.205	0.36	4000	1
	theta[11]	0.151	0.0014	0.088	0.022	0.084	0.137	0.2	0.357	4000	1
	theta[12]	0.153	0.0014	0.089	0.023	0.087	0.138	0.204	0.369	4000	1
	theta[13]	0.154	0.0015	0.092	0.022	0.085	0.137	0.206	0.374	4000	1
	theta[14]	0.15	0.0014	0.086	0.024	0.087	0.137	0.2	0.356	4000	1
	theta[15]	0.154	0.0014	0.091	0.025	0.086	0.139	0.207	0.372	4000	1
	theta[16]	0.151	0.0014	0.086	0.024	0.086	0.138	0.202	0.352	4000	1
	theta[17]	0.153	0.0014	0.088	0.023	0.088	0.138	0.207	0.356	4000	1
	theta[18]	0.154	0.0014	0.088	0.026	0.089	0.14	0.205	0.357	4000	1
	theta[19]	0.154	0.0014	0.089	0.025	0.089	0.14	0.204	0.364	4000	1
	theta[20]	0.153	0.0014	0.088	0.022	0.087	0.141	0.203	0.361	4000	1
	theta[21]	0.152	0.0014	0.089	0.021	0.086	0.138	0.201	0.368	4000	1
	theta[22]	0.154	0.0014	0.09	0.024	0.087	0.138	0.205	0.367	4000	1
	theta[23]	0.153	0.0014	0.088	0.023	0.09	0.141	0.202	0.361	4000	1
	theta[24]	0.154	0.0014	0.089	0.024	0.087	0.141	0.206	0.365	4000	1
	theta[25]	0.153	0.0014	0.087	0.023	0.089	0.141	0.202	0.361	4000	1
	theta[26]	0.152	0.0014	0.087	0.024	0.088	0.138	0.202	0.351	4000	1
	theta[27]	0.152	0.0014	0.091	0.019	0.084	0.137	0.203	0.374	4000	1
	theta[28]	0.155	0.0015	0.094	0.019	0.084	0.14	0.209	0.377	4000	1
	theta[29]	0.153	0.0014	0.089	0.023	0.09	0.138	0.204	0.361	4000	1
	theta[30]	0.151	0.0014	0.089	0.023	0.085	0.137	0.203	0.365	4000	1
	theta[31]	0.152	0.0014	0.086	0.023	0.09	0.139	0.2	0.354	4000	1
	theta[32]	0.153	0.0014	0.09	0.022	0.086	0.139	0.204	0.368	4000	1
	theta[33]	0.152	0.0014	0.087	0.025	0.089	0.138	0.203	0.354	4000	1
	theta[34]	0.153	0.0014	0.089	0.023	0.086	0.138	0.204	0.361	4000	1
	theta[35]	0.152	0.0014	0.087	0.023	0.086	0.138	0.204	0.361	4000	1
	theta[36]	0.154	0.0014	0.09	0.023	0.087	0.14	0.202	0.367	4000	1
	theta[37]	0.152	0.0014	0.088	0.022	0.088	0.138	0.199	0.363	4000	1
	theta[38]	0.152	0.0014	0.088	0.025	0.087	0.138	0.201	0.36	4000	1
	theta[39]	0.153	0.0014	0.091	0.024	0.086	0.135	0.205	0.361	4000	1
	theta[40]	0.152	0.0015	0.092	0.02	0.083	0.137	0.204	0.373	4000	1
	theta[41]	0.15	0.0014	0.088	0.021	0.084	0.136	0.201	0.358	4000	1
	theta[42]	0.151	0.0014	0.086	0.026	0.085	0.138	0.202	0.358	4000	1
	theta[43]	0.153	0.0014	0.086	0.027	0.089	0.139	0.204	0.354	4000	1
	theta[44]	0.153	0.0014	0.088	0.026	0.086	0.139	0.202	0.358	4000	1
	theta[45]	0.153	0.0014	0.086	0.027	0.089	0.14	0.202	0.35	4000	1
	theta[46]	0.151	0.0014	0.089	0.023	0.086	0.136	0.202	0.364	4000	1
	theta[47]	0.152	0.0014	0.088	0.026	0.088	0.137	0.203	0.358	4000	1
	theta[48]	0.153	0.0014	0.089	0.024	0.087	0.139	0.203	0.367	4000	1
	theta[49]	0.152	0.0014	0.087	0.023	0.088	0.141	0.201	0.362	4000	1
	theta[50]	0.153	0.0014	0.089	0.023	0.086	0.138	0.205	0.364	4000	1
	theta[51]	0.151	0.0014	0.087	0.022	0.087	0.137	0.198	0.356	4000	1
	theta[52]	0.154	0.0014	0.091	0.02	0.087	0.138	0.204	0.371	4000	1
	theta[53]	0.153	0.0014	0.087	0.028	0.087	0.139	0.202	0.356	4000	1
	theta[54]	0.153	0.0014	0.089	0.024	0.087	0.139	0.204	0.363	4000	1
	theta[55]	0.152	0.0014	0.091	0.022	0.084	0.135	0.203	0.367	4000	1
	theta[56]	0.153	0.0014	0.09	0.026	0.085	0.138	0.203	0.36	4000	1
	theta[57]	0.154	0.0015	0.093	0.02	0.084	0.139	0.208	0.371	4000	1
	theta[58]	0.152	0.0014	0.088	0.024	0.084	0.138	0.206	0.362	4000	1
	theta[59]	0.155	0.0014	0.091	0.022	0.087	0.141	0.208	0.373	4000	1
	theta[60]	0.154	0.0014	0.09	0.022	0.086	0.14	0.204	0.37	4000	1
	theta[61]	0.155	0.0014	0.091	0.024	0.088	0.139	0.207	0.373	4000	1
	theta[62]	0.153	0.0014	0.088	0.024	0.087	0.14	0.204	0.364	4000	1
	theta[63]	0.154	0.0014	0.088	0.024	0.089	0.142	0.206	0.355	4000	1
	theta[64]	0.152	0.0014	0.087	0.026	0.088	0.139	0.202	0.359	4000	1
	theta[65]	0.153	0.0014	0.087	0.024	0.088	0.14	0.206	0.358	4000	1
	theta[66]	0.152	0.0014	0.088	0.024	0.085	0.138	0.205	0.357	4000	1
	theta[67]	0.153	0.0014	0.087	0.025	0.086	0.14	0.204	0.358	4000	1
	theta[68]	0.153	0.0014	0.086	0.026	0.087	0.14	0.203	0.354	4000	1
	theta[69]	0.152	0.0014	0.091	0.023	0.084	0.137	0.203	0.362	4000	1
	theta[70]	0.153	0.0014	0.087	0.026	0.088	0.138	0.203	0.361	4000	1
	theta[71]	0.152	0.0014	0.089	0.022	0.085	0.139	0.206	0.363	4000	1
	theta[72]	0.153	0.0014	0.09	0.024	0.085	0.137	0.204	0.368	4000	1
	theta[73]	0.153	0.0014	0.09	0.023	0.085	0.139	0.206	0.363	4000	1
	theta[74]	0.153	0.0014	0.089	0.024	0.086	0.139	0.206	0.361	4000	1
	theta[75]	0.153	0.0014	0.09	0.022	0.086	0.139	0.204	0.368	4000	1
	theta[76]	0.154	0.0014	0.09	0.022	0.088	0.137	0.203	0.368	4000	1
	theta[77]	0.153	0.0014	0.087	0.024	0.088	0.139	0.202	0.361	4000	1
	theta[78]	0.153	0.0014	0.088	0.023	0.088	0.138	0.206	0.36	4000	1
	theta[79]	0.152	0.0014	0.087	0.023	0.088	0.139	0.203	0.358	4000	1
	theta[80]	0.152	0.0014	0.09	0.023	0.085	0.138	0.202	0.365	4000	1
	theta[81]	0.153	0.0014	0.088	0.023	0.088	0.139	0.203	0.356	4000	1
	theta[82]	0.154	0.0014	0.09	0.022	0.088	0.141	0.205	0.365	4000	1
	theta[83]	0.151	0.0014	0.087	0.023	0.087	0.14	0.198	0.358	4000	1
	theta[84]	0.154	0.0014	0.088	0.025	0.088	0.14	0.203	0.358	4000	1
	theta[85]	0.153	0.0014	0.091	0.021	0.085	0.139	0.202	0.368	4000	1
	theta[86]	0.153	0.0014	0.088	0.027	0.088	0.139	0.204	0.363	4000	1
	theta[87]	0.153	0.0014	0.088	0.024	0.086	0.14	0.202	0.359	4000	1
	theta[88]	0.145	0.0014	0.087	0.019	0.08	0.13	0.194	0.35	4000	1
	theta[89]	0.144	0.0013	0.085	0.022	0.079	0.131	0.192	0.342	4000	1
	theta[90]	0.142	0.0013	0.083	0.022	0.081	0.127	0.189	0.339	4000	1
	theta[91]	0.144	0.0013	0.084	0.022	0.081	0.131	0.192	0.343	4000	1
	theta[92]	0.143	0.0013	0.084	0.021	0.08	0.13	0.191	0.342	4000	1
	theta[93]	0.142	0.0013	0.082	0.022	0.081	0.129	0.188	0.341	4000	1
	theta[94]	0.144	0.0013	0.085	0.022	0.08	0.129	0.196	0.345	4000	1
	theta[95]	0.143	0.0013	0.083	0.022	0.082	0.131	0.189	0.339	4000	1
	theta[96]	0.144	0.0013	0.082	0.023	0.081	0.132	0.195	0.331	4000	1
	theta[97]	0.142	0.0013	0.083	0.02	0.081	0.128	0.193	0.34	4000	1
	theta[98]	0.145	0.0013	0.083	0.023	0.082	0.133	0.192	0.341	4000	1
	theta[99]	0.142	0.0013	0.082	0.022	0.081	0.129	0.19	0.33	4000	1
	theta[100]	0.143	0.0013	0.083	0.023	0.08	0.131	0.191	0.341	4000	1
	theta[101]	0.143	0.0013	0.082	0.022	0.08	0.131	0.193	0.331	4000	1
	theta[102]	0.144	0.0013	0.083	0.025	0.084	0.132	0.189	0.342	4000	1
	theta[103]	0.142	0.0013	0.084	0.021	0.08	0.129	0.191	0.333	4000	1
	theta[104]	0.145	0.0013	0.085	0.021	0.084	0.132	0.194	0.35	4000	1
	theta[105]	0.145	0.0013	0.082	0.023	0.082	0.131	0.196	0.333	4000	1
	theta[106]	0.144	0.0013	0.082	0.022	0.083	0.133	0.189	0.329	4000	1
	theta[107]	0.145	0.0013	0.082	0.024	0.083	0.132	0.193	0.337	4000	1
	theta[108]	0.145	0.0013	0.083	0.023	0.083	0.132	0.196	0.334	4000	1
	theta[109]	0.143	0.0013	0.083	0.022	0.081	0.129	0.193	0.338	4000	1
	theta[110]	0.144	0.0014	0.086	0.022	0.08	0.129	0.193	0.346	4000	1
	theta[111]	0.144	0.0014	0.086	0.019	0.08	0.129	0.193	0.346	4000	1
	theta[112]	0.144	0.0014	0.086	0.021	0.079	0.129	0.192	0.348	4000	1
	theta[113]	0.145	0.0013	0.084	0.022	0.082	0.133	0.194	0.342	4000	1
	theta[114]	0.145	0.0014	0.087	0.019	0.082	0.131	0.194	0.343	4000	1
	theta[115]	0.144	0.0013	0.084	0.022	0.081	0.132	0.192	0.34	4000	1
	theta[116]	0.143	0.0013	0.083	0.02	0.081	0.132	0.19	0.337	4000	1
	theta[117]	0.143	0.0014	0.086	0.02	0.081	0.129	0.192	0.346	4000	1
	theta[118]	0.145	0.0014	0.085	0.02	0.082	0.131	0.195	0.344	4000	1
	theta[119]	0.143	0.0013	0.083	0.022	0.08	0.129	0.192	0.34	4000	1
	theta[120]	0.146	0.0014	0.087	0.022	0.08	0.132	0.195	0.357	4000	1
	theta[121]	0.143	0.0013	0.084	0.02	0.08	0.131	0.192	0.33	4000	1
	theta[122]	0.145	0.0014	0.087	0.018	0.081	0.131	0.195	0.352	4000	1
	theta[123]	0.143	0.0013	0.081	0.024	0.082	0.131	0.192	0.331	4000	1
	theta[124]	0.142	0.0013	0.085	0.02	0.078	0.128	0.192	0.345	4000	1
	theta[125]	0.142	0.0013	0.083	0.021	0.079	0.128	0.188	0.336	4000	1
	theta[126]	0.142	0.0013	0.084	0.024	0.078	0.128	0.19	0.335	4000	1
	theta[127]	0.145	0.0014	0.085	0.024	0.08	0.13	0.196	0.338	4000	1
	theta[128]	0.144	0.0014	0.086	0.021	0.079	0.131	0.193	0.341	4000	1
	theta[129]	0.145	0.0013	0.084	0.023	0.08	0.13	0.193	0.343	4000	1
	theta[130]	0.143	0.0014	0.086	0.017	0.08	0.128	0.193	0.343	4000	1
	theta[131]	0.143	0.0013	0.082	0.022	0.081	0.13	0.195	0.328	4000	1
	theta[132]	0.144	0.0013	0.084	0.019	0.08	0.131	0.193	0.337	4000	1
	theta[133]	0.145	0.0014	0.086	0.021	0.08	0.131	0.193	0.35	4000	1
	theta[134]	0.145	0.0013	0.083	0.021	0.082	0.133	0.192	0.337	4000	1
	theta[135]	0.145	0.0013	0.084	0.022	0.082	0.131	0.193	0.346	4000	1
	theta[136]	0.144	0.0014	0.086	0.021	0.08	0.13	0.192	0.349	4000	1
	theta[137]	0.143	0.0013	0.082	0.024	0.081	0.132	0.192	0.33	4000	1
	theta[138]	0.143	0.0013	0.084	0.021	0.08	0.131	0.191	0.349	4000	1
	theta[139]	0.144	0.0013	0.085	0.019	0.081	0.132	0.191	0.341	4000	1
	theta[140]	0.142	0.0013	0.081	0.023	0.083	0.13	0.187	0.327	4000	1
	theta[141]	0.143	0.0013	0.084	0.02	0.081	0.13	0.19	0.342	4000	1
	theta[142]	0.145	0.0013	0.084	0.022	0.082	0.13	0.195	0.339	4000	1
	theta[143]	0.135	0.0012	0.076	0.022	0.078	0.127	0.18	0.313	4000	1
	theta[144]	0.136	0.0012	0.077	0.021	0.078	0.125	0.181	0.308	4000	1
	theta[145]	0.136	0.0013	0.081	0.02	0.076	0.124	0.183	0.327	4000	1
	theta[146]	0.135	0.0012	0.078	0.02	0.078	0.123	0.176	0.324	4000	1
	theta[147]	0.137	0.0013	0.083	0.019	0.076	0.124	0.183	0.337	4000	1
	theta[148]	0.134	0.0013	0.081	0.02	0.075	0.121	0.178	0.331	4000	1
	theta[149]	0.136	0.0012	0.079	0.023	0.076	0.122	0.181	0.324	4000	1
	theta[150]	0.135	0.0013	0.082	0.018	0.071	0.121	0.184	0.328	4000	1
	theta[151]	0.136	0.0013	0.081	0.02	0.075	0.124	0.179	0.332	4000	1
	theta[152]	0.135	0.0013	0.08	0.019	0.075	0.123	0.18	0.321	4000	1
	theta[153]	0.136	0.0013	0.082	0.018	0.075	0.122	0.181	0.329	4000	1
	theta[154]	0.136	0.0012	0.078	0.021	0.077	0.124	0.18	0.319	4000	1
	theta[155]	0.135	0.0013	0.079	0.022	0.075	0.123	0.18	0.325	4000	1
	theta[156]	0.136	0.0012	0.078	0.023	0.077	0.123	0.182	0.323	4000	1
	theta[157]	0.137	0.0013	0.08	0.02	0.076	0.124	0.185	0.322	4000	1
	theta[158]	0.136	0.0013	0.081	0.02	0.076	0.122	0.184	0.331	4000	1
	theta[159]	0.136	0.0013	0.081	0.019	0.076	0.125	0.183	0.328	4000	1
	theta[160]	0.135	0.0013	0.08	0.018	0.075	0.123	0.182	0.324	4000	1
	theta[161]	0.137	0.0013	0.081	0.02	0.074	0.123	0.186	0.324	4000	1
	theta[162]	0.129	0.0012	0.076	0.02	0.074	0.116	0.173	0.305	4000	1
	theta[163]	0.129	0.0012	0.078	0.018	0.07	0.116	0.174	0.309	4000	1
	theta[164]	0.128	0.0011	0.073	0.02	0.075	0.118	0.167	0.3	4000	1
	theta[165]	0.129	0.0012	0.076	0.017	0.072	0.117	0.173	0.303	4000	1
	theta[166]	0.129	0.0012	0.078	0.018	0.069	0.117	0.173	0.314	4000	1
	theta[167]	0.127	0.0012	0.075	0.019	0.072	0.116	0.169	0.299	4000	1
	theta[168]	0.126	0.0011	0.072	0.02	0.071	0.117	0.166	0.298	4000	1
	theta[169]	0.128	0.0012	0.075	0.018	0.072	0.118	0.17	0.304	4000	1
	theta[170]	0.128	0.0012	0.077	0.017	0.071	0.115	0.171	0.311	4000	1
	theta[171]	0.129	0.0012	0.075	0.018	0.074	0.116	0.17	0.31	4000	1
	theta[172]	0.127	0.0012	0.076	0.019	0.07	0.115	0.173	0.306	4000	1
	theta[173]	0.129	0.0012	0.077	0.017	0.073	0.116	0.173	0.313	4000	1
	theta[174]	0.128	0.0012	0.075	0.019	0.071	0.115	0.172	0.306	4000	1
	theta[175]	0.128	0.0012	0.076	0.018	0.071	0.117	0.173	0.304	4000	1
	theta[176]	0.128	0.0012	0.074	0.017	0.073	0.116	0.171	0.301	4000	1
	theta[177]	0.128	0.0012	0.074	0.02	0.072	0.116	0.173	0.303	4000	1
	theta[178]	0.128	0.0012	0.077	0.016	0.07	0.115	0.173	0.31	4000	1
	theta[179]	0.129	0.0012	0.076	0.019	0.074	0.117	0.173	0.303	4000	1
	theta[180]	0.129	0.0012	0.075	0.019	0.071	0.117	0.174	0.305	4000	1
	theta[181]	0.128	0.0012	0.075	0.019	0.072	0.116	0.171	0.301	4000	1
	theta[182]	0.122	0.0011	0.071	0.018	0.068	0.111	0.162	0.29	4000	1
	theta[183]	0.121	0.0011	0.071	0.017	0.068	0.109	0.161	0.288	4000	1
	theta[184]	0.122	0.0011	0.072	0.016	0.069	0.111	0.165	0.288	4000	1
	theta[185]	0.122	0.0012	0.073	0.015	0.067	0.112	0.165	0.291	4000	1
	theta[186]	0.123	0.0011	0.071	0.019	0.071	0.112	0.165	0.292	4000	1
	theta[187]	0.12	0.0012	0.073	0.017	0.066	0.109	0.162	0.29	4000	1
	theta[188]	0.12	0.0011	0.072	0.016	0.068	0.109	0.161	0.292	4000	1
	theta[189]	0.121	0.0011	0.071	0.017	0.068	0.111	0.162	0.288	4000	1
	theta[190]	0.122	0.0012	0.075	0.017	0.066	0.11	0.165	0.296	4000	1
	theta[191]	0.122	0.0012	0.074	0.018	0.069	0.11	0.165	0.293	4000	1
	theta[192]	0.121	0.0011	0.071	0.015	0.068	0.11	0.161	0.289	4000	1
	theta[193]	0.121	0.0011	0.071	0.016	0.068	0.11	0.162	0.289	4000	1
	theta[194]	0.121	0.0011	0.072	0.016	0.066	0.11	0.164	0.289	4000	1
	theta[195]	0.123	0.0011	0.072	0.019	0.069	0.11	0.167	0.289	4000	1
	theta[196]	0.122	0.0012	0.073	0.017	0.065	0.109	0.164	0.297	4000	1
	theta[197]	0.122	0.0011	0.072	0.018	0.068	0.109	0.164	0.29	4000	1
	theta[198]	0.12	0.0011	0.071	0.018	0.068	0.109	0.159	0.288	4000	1
	theta[199]	0.122	0.0012	0.075	0.018	0.067	0.108	0.164	0.295	4000	1
	theta[200]	0.116	0.0011	0.068	0.017	0.065	0.105	0.154	0.279	4000	1
	theta[201]	0.116	0.0011	0.069	0.018	0.063	0.105	0.155	0.282	4000	1
	theta[202]	0.116	0.0011	0.069	0.016	0.064	0.104	0.154	0.274	4000	1
	theta[203]	0.118	0.0011	0.072	0.017	0.065	0.107	0.155	0.285	4000	1
	theta[204]	0.117	0.0011	0.069	0.018	0.065	0.105	0.158	0.278	4000	1
	theta[205]	0.117	0.0011	0.069	0.015	0.067	0.107	0.156	0.279	4000	1
	theta[206]	0.116	0.0011	0.067	0.017	0.066	0.106	0.156	0.271	4000	1
	theta[207]	0.115	0.0011	0.069	0.016	0.062	0.104	0.156	0.278	4000	1
	theta[208]	0.116	0.0011	0.067	0.016	0.065	0.106	0.155	0.271	4000	1
	theta[209]	0.116	0.0011	0.068	0.016	0.064	0.105	0.155	0.275	4000	1
	theta[210]	0.116	0.0011	0.07	0.014	0.063	0.106	0.155	0.283	4000	1
	theta[211]	0.116	0.0011	0.069	0.017	0.067	0.105	0.155	0.284	4000	1
	theta[212]	0.115	0.0011	0.068	0.016	0.064	0.105	0.156	0.269	4000	1
	theta[213]	0.117	0.0011	0.069	0.016	0.064	0.105	0.157	0.28	4000	1
	theta[214]	0.117	0.0011	0.07	0.016	0.065	0.107	0.156	0.282	4000	1
	theta[215]	0.116	0.0011	0.068	0.016	0.065	0.105	0.155	0.275	4000	1
	theta[216]	0.116	0.0011	0.068	0.015	0.066	0.107	0.155	0.281	4000	1
	theta[217]	0.116	0.0011	0.068	0.019	0.065	0.106	0.155	0.276	4000	1
	theta[218]	0.115	0.0011	0.069	0.017	0.063	0.104	0.157	0.279	4000	1
	theta[219]	0.112	0.001	0.065	0.017	0.063	0.101	0.148	0.27	4000	1
	theta[220]	0.111	0.001	0.064	0.017	0.063	0.101	0.148	0.262	4000	1
	theta[221]	0.105	0.001	0.065	0.014	0.056	0.095	0.142	0.262	4000	1
	theta[222]	0.106	0.001	0.064	0.014	0.057	0.096	0.143	0.254	4000	1
	theta[223]	0.107	0.001	0.065	0.014	0.058	0.096	0.143	0.262	4000	1
	theta[224]	0.108	0.001	0.066	0.015	0.058	0.096	0.145	0.263	4000	1
	theta[225]	0.106	0.001	0.063	0.015	0.058	0.097	0.143	0.254	4000	1
	theta[226]	0.107	0.001	0.064	0.016	0.058	0.097	0.144	0.256	4000	1
	theta[227]	0.106	0.0011	0.067	0.013	0.056	0.096	0.144	0.264	4000	1
	theta[228]	0.105	0.001	0.063	0.015	0.057	0.094	0.142	0.25	4000	1
	theta[229]	0.101	0.001	0.061	0.014	0.054	0.09	0.137	0.242	4000	1
	theta[230]	0.102	9e-4	0.059	0.015	0.057	0.093	0.136	0.237	4000	1
	theta[231]	0.103	0.001	0.062	0.014	0.056	0.093	0.139	0.25	4000	1
	theta[232]	0.102	0.001	0.061	0.013	0.057	0.091	0.137	0.247	4000	1
	theta[233]	0.102	0.001	0.061	0.013	0.056	0.094	0.137	0.24	4000	1
	theta[234]	0.099	0.001	0.061	0.014	0.053	0.088	0.134	0.243	4000	1
	theta[235]	0.098	9e-4	0.059	0.014	0.053	0.088	0.132	0.237	4000	1
	theta[236]	0.099	0.001	0.061	0.012	0.052	0.087	0.134	0.243	4000	1
	theta[237]	0.099	8e-4	0.051	0.023	0.061	0.092	0.128	0.215	4000	1
	theta[238]	0.1	7e-4	0.046	0.028	0.066	0.095	0.128	0.205	4000	1
	theta[239]	0.123	9e-4	0.06	0.031	0.079	0.115	0.159	0.258	4000	1
	theta[240]	0.128	0.001	0.064	0.029	0.081	0.118	0.166	0.28	4000	1
	theta[241]	0.132	0.0011	0.068	0.03	0.082	0.123	0.173	0.286	4000	1
	theta[242]	0.121	8e-4	0.054	0.035	0.083	0.115	0.153	0.243	4000	1
	theta[243]	0.121	8e-4	0.054	0.034	0.082	0.115	0.152	0.241	4000	1
	theta[244]	0.124	9e-4	0.055	0.036	0.084	0.117	0.158	0.247	4000	1
	theta[245]	0.139	0.0011	0.068	0.033	0.089	0.129	0.181	0.296	4000	1
	theta[246]	0.138	0.0011	0.068	0.03	0.09	0.129	0.179	0.292	4000	1
	theta[247]	0.127	9e-4	0.054	0.041	0.087	0.122	0.159	0.249	4000	1
	theta[248]	0.145	0.0011	0.07	0.034	0.093	0.136	0.186	0.307	4000	1
	theta[249]	0.134	9e-4	0.059	0.041	0.091	0.127	0.172	0.273	4000	1
	theta[250]	0.126	7e-4	0.047	0.051	0.092	0.121	0.155	0.23	4000	1
	theta[251]	0.149	0.0011	0.073	0.035	0.095	0.14	0.191	0.313	4000	1
	theta[252]	0.145	0.001	0.062	0.045	0.098	0.138	0.183	0.284	4000	1
	theta[253]	0.139	7e-4	0.043	0.066	0.107	0.135	0.166	0.231	4000	1
	theta[254]	0.149	0.001	0.064	0.047	0.101	0.141	0.19	0.289	4000	1
	theta[255]	0.145	8e-4	0.051	0.06	0.109	0.14	0.176	0.259	4000	1
	theta[256]	0.155	0.0012	0.077	0.037	0.099	0.144	0.201	0.339	4000	1
	theta[257]	0.156	0.0012	0.076	0.037	0.101	0.145	0.201	0.329	4000	1
	theta[258]	0.156	0.0012	0.075	0.04	0.1	0.147	0.202	0.33	4000	1
	theta[259]	0.159	0.0013	0.08	0.038	0.1	0.146	0.206	0.349	4000	1
	theta[260]	0.152	0.001	0.066	0.048	0.103	0.145	0.192	0.299	4000	1
	theta[261]	0.154	0.001	0.066	0.049	0.105	0.146	0.194	0.304	4000	1
	theta[262]	0.152	9e-4	0.057	0.058	0.109	0.146	0.187	0.28	4000	1
	theta[263]	0.152	9e-4	0.058	0.054	0.11	0.146	0.188	0.284	4000	1
	theta[264]	0.159	0.0011	0.068	0.049	0.11	0.15	0.201	0.313	4000	1
	theta[265]	0.161	0.0011	0.069	0.053	0.109	0.153	0.204	0.32	4000	1
	theta[266]	0.165	0.0013	0.08	0.042	0.106	0.154	0.211	0.352	4000	1
	theta[267]	0.163	0.0012	0.078	0.042	0.105	0.155	0.211	0.343	4000	1
	theta[268]	0.165	0.0013	0.08	0.037	0.106	0.153	0.213	0.34	4000	1
	theta[269]	0.162	0.0012	0.078	0.038	0.106	0.152	0.206	0.34	4000	1
	theta[270]	0.165	0.0013	0.081	0.04	0.105	0.154	0.21	0.349	4000	1
	theta[271]	0.165	0.0012	0.078	0.041	0.108	0.154	0.212	0.35	4000	1
	theta[272]	0.165	0.0011	0.071	0.052	0.112	0.158	0.208	0.327	4000	1
	theta[273]	0.167	0.0011	0.073	0.052	0.114	0.158	0.211	0.33	4000	1
	theta[274]	0.172	8e-4	0.053	0.082	0.134	0.168	0.205	0.285	4000	1
	theta[275]	0.174	0.001	0.061	0.071	0.129	0.168	0.212	0.306	4000	1
	theta[276]	0.174	0.001	0.062	0.07	0.128	0.168	0.212	0.314	4000	1
	theta[277]	0.172	0.0013	0.082	0.043	0.112	0.162	0.22	0.36	4000	1
	theta[278]	0.173	0.0013	0.081	0.047	0.112	0.163	0.222	0.357	4000	1
	theta[279]	0.173	0.0013	0.085	0.044	0.111	0.161	0.221	0.371	4000	1
	theta[280]	0.175	0.0013	0.085	0.044	0.111	0.162	0.226	0.368	4000	1
	theta[281]	0.174	0.0013	0.085	0.043	0.112	0.163	0.225	0.365	4000	1
	theta[282]	0.171	0.0013	0.084	0.042	0.11	0.162	0.22	0.363	4000	1
	theta[283]	0.178	0.0012	0.075	0.059	0.123	0.17	0.223	0.351	4000	1
	theta[284]	0.177	0.0012	0.078	0.053	0.119	0.168	0.225	0.355	4000	1
	theta[285]	0.177	0.0012	0.077	0.057	0.12	0.168	0.222	0.351	4000	1
	theta[286]	0.183	0.0011	0.07	0.065	0.132	0.178	0.227	0.339	4000	1
	theta[287]	0.183	0.001	0.066	0.074	0.136	0.177	0.223	0.329	4000	1
	theta[288]	0.183	0.001	0.064	0.075	0.137	0.178	0.224	0.325	4000	1
	theta[289]	0.196	9e-4	0.058	0.094	0.155	0.191	0.232	0.327	4000	1
	theta[290]	0.194	0.0011	0.067	0.083	0.145	0.188	0.236	0.342	4000	1
	theta[291]	0.194	0.0012	0.074	0.071	0.141	0.188	0.24	0.358	4000	1
	theta[292]	0.206	0.001	0.061	0.103	0.163	0.202	0.245	0.338	4000	1
	theta[293]	0.219	8e-4	0.05	0.129	0.184	0.216	0.25	0.323	4000	1
	theta[294]	0.222	8e-4	0.052	0.127	0.185	0.22	0.254	0.334	4000	1
	theta[295]	0.182	0.0014	0.087	0.047	0.118	0.172	0.234	0.378	4000	1
	theta[296]	0.18	0.0014	0.088	0.045	0.114	0.169	0.233	0.379	4000	1
	theta[297]	0.183	0.0013	0.085	0.052	0.121	0.172	0.232	0.381	4000	1
	theta[298]	0.181	0.0014	0.088	0.048	0.117	0.167	0.231	0.388	4000	1
	theta[299]	0.181	0.0014	0.087	0.045	0.118	0.17	0.232	0.387	4000	1
	theta[300]	0.183	0.0014	0.086	0.049	0.119	0.172	0.235	0.382	4000	1
	theta[301]	0.184	0.0014	0.091	0.042	0.119	0.173	0.236	0.397	4000	1
	theta[302]	0.184	0.0014	0.088	0.047	0.118	0.172	0.237	0.388	4000	1
	theta[303]	0.193	0.0013	0.084	0.062	0.132	0.184	0.244	0.384	4000	1
	theta[304]	0.196	0.0013	0.083	0.06	0.135	0.187	0.246	0.382	4000	1
	theta[305]	0.193	0.0013	0.081	0.063	0.134	0.184	0.242	0.375	4000	1
	theta[306]	0.194	0.0013	0.081	0.063	0.134	0.184	0.243	0.376	4000	1
	theta[307]	0.217	0.001	0.066	0.103	0.17	0.212	0.258	0.362	4000	1
	theta[308]	0.236	7e-4	0.046	0.153	0.204	0.235	0.265	0.33	4000	1
	theta[309]	0.231	0.001	0.063	0.123	0.185	0.226	0.27	0.37	4000	1
	theta[310]	0.233	0.001	0.064	0.12	0.185	0.23	0.275	0.369	4000	1
	theta[311]	0.203	0.0013	0.085	0.07	0.141	0.193	0.253	0.395	4000	1
	theta[312]	0.221	0.0012	0.074	0.094	0.167	0.213	0.267	0.386	4000	1
	theta[313]	0.235	0.0011	0.07	0.115	0.184	0.23	0.281	0.386	4000	1
	theta[314]	0.217	0.0013	0.084	0.079	0.155	0.208	0.269	0.403	4000	1
	theta[315]	0.241	0.0011	0.072	0.119	0.19	0.236	0.287	0.395	4000	1
	theta[316]	0.284	9e-4	0.056	0.181	0.245	0.281	0.32	0.404	4000	1
	theta[317]	0.193	0.0015	0.094	0.044	0.124	0.18	0.248	0.409	4000	1
	theta[318]	0.193	0.0014	0.091	0.052	0.123	0.181	0.249	0.397	4000	1
	theta[319]	0.192	0.0014	0.091	0.048	0.126	0.179	0.246	0.393	4000	1
	theta[320]	0.193	0.0015	0.093	0.049	0.124	0.179	0.248	0.403	4000	1
	theta[321]	0.193	0.0015	0.094	0.049	0.125	0.178	0.247	0.415	4000	1
	theta[322]	0.194	0.0015	0.093	0.048	0.125	0.181	0.25	0.404	4000	1
	theta[323]	0.194	0.0015	0.096	0.049	0.124	0.18	0.251	0.412	4000	1
	theta[324]	0.192	0.0014	0.091	0.051	0.125	0.181	0.244	0.398	4000	1
	theta[325]	0.193	0.0015	0.095	0.046	0.124	0.179	0.248	0.415	4000	1
	theta[326]	0.193	0.0015	0.093	0.053	0.124	0.18	0.248	0.408	4000	1
	theta[327]	0.214	0.0014	0.089	0.071	0.15	0.204	0.269	0.412	4000	1
	theta[328]	0.213	0.0014	0.085	0.076	0.15	0.202	0.265	0.4	4000	1
	theta[329]	0.213	0.0014	0.088	0.07	0.149	0.205	0.265	0.408	4000	1
	theta[330]	0.212	0.0014	0.089	0.071	0.148	0.201	0.266	0.416	4000	1
	theta[331]	0.212	0.0014	0.09	0.066	0.143	0.201	0.268	0.414	4000	1
	theta[332]	0.212	0.0014	0.09	0.066	0.148	0.202	0.265	0.417	4000	1
	theta[333]	0.213	0.0014	0.09	0.07	0.146	0.202	0.269	0.418	4000	1
	theta[334]	0.212	0.0014	0.086	0.069	0.15	0.203	0.265	0.408	4000	1
	theta[335]	0.212	0.0014	0.088	0.072	0.147	0.2	0.267	0.405	4000	1
	theta[336]	0.238	0.0013	0.081	0.102	0.178	0.231	0.288	0.418	4000	1
	theta[337]	0.239	0.0013	0.083	0.101	0.18	0.23	0.292	0.427	4000	1
	theta[338]	0.239	0.0013	0.085	0.096	0.179	0.229	0.29	0.431	4000	1
	theta[339]	0.24	0.0013	0.081	0.105	0.182	0.232	0.29	0.418	4000	1
	theta[340]	0.254	0.0012	0.077	0.127	0.199	0.248	0.304	0.417	4000	1
	theta[341]	0.256	0.0012	0.075	0.127	0.2	0.25	0.306	0.416	4000	1
	theta[342]	0.246	0.0014	0.087	0.102	0.184	0.239	0.299	0.432	4000	1
	theta[343]	0.224	0.0015	0.095	0.074	0.156	0.212	0.28	0.446	4000	1
	theta[344]	0.223	0.0015	0.093	0.077	0.156	0.21	0.279	0.427	4000	1
	theta[345]	0.26	0.0013	0.085	0.116	0.199	0.252	0.315	0.449	4000	1
	theta[346]	0.258	0.0014	0.09	0.109	0.194	0.251	0.313	0.461	4000	1
	theta[347]	0.257	0.0014	0.09	0.106	0.192	0.246	0.313	0.458	4000	1
	theta[348]	0.206	0.0016	0.101	0.052	0.132	0.191	0.266	0.442	4000	1
	theta[349]	0.202	0.0015	0.097	0.05	0.129	0.189	0.261	0.431	4000	1
	theta[350]	0.205	0.0015	0.097	0.053	0.136	0.191	0.26	0.435	4000	1
	theta[351]	0.204	0.0015	0.097	0.052	0.131	0.191	0.263	0.425	4000	1
	theta[352]	0.204	0.0016	0.098	0.053	0.133	0.191	0.261	0.431	4000	1
	theta[353]	0.205	0.0015	0.096	0.053	0.134	0.195	0.26	0.417	4000	1
	theta[354]	0.203	0.0015	0.098	0.055	0.131	0.19	0.259	0.431	4000	1
	theta[355]	0.206	0.0015	0.098	0.054	0.135	0.193	0.264	0.434	4000	1
	theta[356]	0.203	0.0015	0.097	0.054	0.13	0.191	0.26	0.427	4000	1
	theta[357]	0.204	0.0015	0.096	0.052	0.132	0.192	0.259	0.427	4000	1
	theta[358]	0.204	0.0016	0.1	0.049	0.131	0.188	0.263	0.432	4000	1
	theta[359]	0.204	0.0015	0.096	0.055	0.135	0.19	0.26	0.426	4000	1
	theta[360]	0.205	0.0016	0.099	0.052	0.131	0.193	0.262	0.437	4000	1
	theta[361]	0.236	0.0015	0.094	0.088	0.169	0.224	0.291	0.451	4000	1
	theta[362]	0.236	0.0015	0.096	0.083	0.165	0.225	0.294	0.444	4000	1
	theta[363]	0.236	0.0016	0.099	0.078	0.163	0.224	0.296	0.461	4000	1
	theta[364]	0.236	0.0015	0.097	0.082	0.166	0.224	0.292	0.457	4000	1
	theta[365]	0.234	0.0015	0.097	0.08	0.162	0.223	0.29	0.455	4000	1
	theta[366]	0.259	0.0015	0.098	0.099	0.188	0.247	0.319	0.478	4000	1
	theta[367]	0.282	0.0015	0.097	0.122	0.211	0.271	0.342	0.503	4000	1
	theta[368]	0.294	0.0016	0.104	0.122	0.218	0.283	0.359	0.519	4000	1
	theta[369]	0.251	0.0016	0.103	0.087	0.174	0.24	0.314	0.483	4000	1
	theta[370]	0.247	0.0017	0.105	0.079	0.17	0.236	0.309	0.48	4000	1
	theta[371]	0.25	0.0016	0.103	0.086	0.174	0.238	0.314	0.478	4000	1
	theta[372]	0.385	0.0016	0.1	0.21	0.314	0.379	0.452	0.597	4000	1
	theta[373]	0.474	0.0014	0.089	0.303	0.411	0.471	0.535	0.654	4000	1
	theta[374]	0.428	0.0016	0.099	0.251	0.358	0.423	0.494	0.636	4000	1
	theta[375]	0.22	0.0017	0.105	0.059	0.145	0.205	0.281	0.468	4000	1
	theta[376]	0.218	0.0016	0.101	0.06	0.142	0.206	0.277	0.459	4000	1
	theta[377]	0.218	0.0017	0.107	0.057	0.139	0.2	0.279	0.472	4000	1
	theta[378]	0.218	0.0016	0.103	0.059	0.144	0.203	0.282	0.448	4000	1
	theta[379]	0.217	0.0017	0.105	0.055	0.144	0.2	0.278	0.465	4000	1
	theta[380]	0.219	0.0016	0.104	0.06	0.144	0.203	0.278	0.462	4000	1
	theta[381]	0.217	0.0017	0.106	0.059	0.139	0.203	0.28	0.462	4000	1
	theta[382]	0.216	0.0017	0.106	0.051	0.138	0.2	0.277	0.468	4000	1
	theta[383]	0.217	0.0017	0.105	0.055	0.142	0.201	0.276	0.458	4000	1
	theta[384]	0.216	0.0016	0.102	0.057	0.142	0.203	0.273	0.451	4000	1
	theta[385]	0.216	0.0016	0.104	0.058	0.139	0.201	0.275	0.464	4000	1
	theta[386]	0.219	0.0016	0.102	0.06	0.145	0.206	0.279	0.451	4000	1
	theta[387]	0.267	0.0018	0.112	0.086	0.184	0.251	0.334	0.524	4000	1
	theta[388]	0.265	0.0017	0.109	0.09	0.185	0.251	0.33	0.513	4000	1
	theta[389]	0.266	0.0018	0.111	0.087	0.185	0.252	0.33	0.523	4000	1
	theta[390]	0.265	0.0018	0.112	0.086	0.183	0.251	0.332	0.52	4000	1
	theta[391]	0.307	0.0018	0.113	0.121	0.223	0.293	0.379	0.554	4000	1
	mu	0.163	3e-4	0.01	0.143	0.157	0.164	0.17	0.183	1056	1
	kappa	15.934	0.4596	5.55	8.06	12.082	14.935	18.575	30.461	146	1.01
	a	2.61	0.079	0.939	1.3	1.949	2.446	3.054	5.08	141	1.01
	b	13.324	0.3808	4.628	6.743	10.095	12.471	15.499	25.31	148	1.01
	lp__	-1456.22	5.6859	63.897	-1578.449	-1498.652	-1456.805	-1415.194	-1323.105	126	1.02

view raw fit_summary_hier.tsv hosted with ❤ by GitHub

前節と同様に推定結果を確認すると、階層ベイズでも直感的によさそうな採用率が推定されているように見えますね。前節で使ったベータ分布の固定パラメータは、この階層ベイズのパラメータを参考にして決めました。なお、ハイパーパラメータの有効サンプルサイズが小さいところは気になるので、必要に応じてサンプリング数を増やすなどの対応が必要です。

グループの違いを考慮した階層ベイズによる比率の推定

採用率は職種や地域によって大きく異なることが知られています。そこで最後に、職種や地域のようなグループごとの採用率の違いも考慮した推定をやってみましょう。

基本的には今までやってきたことと同じように、採用率の事前分布の事前分布のパラメータにさらに事前分布を設定します。グループごとに採用率を推定することもできますが、職種や地域によっては応募が少ないため全体傾向すら推定できないグループがあることが多いです。そこで、求人の採用率の事前分布にグループごとの採用率を使い、グループごとの採用率（の期待値）の事前分布にグループ別採用率の分布を設定します。このように階層を増やすことで、応募が少ないグループの採用率の推定にはグループ別採用率の分布が利用されるため、推定がしやすくなります。なお、ここではデータの分布の傾向については確認しませんが、グループごとの採用率分布も、応募の多いグループ内の求人の採用率分布も、前節までに見てきた全求人の採用率分布とほぼ同じような傾向になっているので、引き続き事前分布にはベータ分布を使います。

モデルとコードは以下のようになります。モデルが複雑になり計算が不安定になりやすいので、ハイパーパラメータκg${\kappa }_g$とκi${\kappa }_i$に半正規分布を設定して安定化を図っています。また、Stan実行時にオプションadapt_deltaを0.99に設定しています。

Rコード（クリックすると展開されます）

library(rstan)
library(tidyverse)

dat <- read_csv("sample.csv")

stan_dat <-
  list(M = nrow(dat),
       K = dat$G %>% unique %>% length,
       N = dat$N,
       R = dat$R,
       G = dat$G)

fit <- stan(file = 'hier2.stan', 
            data = stan_dat,
            seed = 123,
            control = list(adapt_delta = 0.99))

Stanコード(hier2.stan)（クリックすると展開されます）

data {
  int M;                            // データ数
  int K;                            // グループIDの最大値
  int<lower=0> N[M];                // 応募数(分母)
  int<lower=0> R[M];                // 採用数(分子)
  int<lower=1, upper=K> G[M];       // グループID
}

parameters {
  real<lower=0, upper=1> theta[M];  // 採用率
  
  vector<lower=0, upper=1>[K] mu;   // グループ別の採用率事前分布のパラメータ(期待値)
  vector<lower=0>[K] kappa;         // グループ別の採用率事前分布ののパラメータ(alpha + beta)
  
  real<lower=0, upper=1> mu_g;      // グループの事前分布のパラメータ(期待値)
  real<lower=0> kappa_g;            // グループの事前分布のパラメータ(alpha + beta)
}

transformed parameters {
  vector<lower=0>[K] a;             // グループ別の事前分布(ベータ分布)のパラメータ
  vector<lower=0>[K] b;             // グループ別の事前分布(ベータ分布)のパラメータ
  
  real<lower=0> a_g;                // グループの事前分布(ベータ分布)のパラメータ
  real<lower=0> b_g;                // グループの事前分布(ベータ分布)のパラメータ
  
  a = mu .* kappa;
  b = kappa .* (1 - mu);
  
  a_g = mu_g .* kappa_g;
  b_g = kappa_g .* (1 - mu_g);
}

model {
  R ~ binomial(N, theta);
  for (i in 1:M) {
    theta[i] ~ beta(a[G[i]], b[G[i]]);  // 採用率の事前分布(パラメータはグループ別)
  }
  mu ~ beta(a_g, b_g);                  // グループの事前分布(採用率の事前分布のパラメータの事前分布)
  kappa ~ normal(0, 100);
  kappa_g ~ normal(0, 100);
}

結果は以下のようになります。

推定結果のサマリ（クリックすると展開されます）

	variable	mean	se_mean	sd	2.5%	25%	50%	75%	97.5%	n_eff	Rhat
	theta[1]	0.129	0.0019	0.068	0.014	0.083	0.124	0.167	0.282	1306	1
	theta[2]	0.139	0.0011	0.072	0.018	0.091	0.13	0.18	0.296	4000	1
	theta[3]	0.126	0.0025	0.079	0.001	0.074	0.118	0.167	0.302	967	1
	theta[4]	0.16	0.0013	0.059	0.052	0.123	0.156	0.192	0.285	2218	1
	theta[5]	0.158	9e-4	0.06	0.049	0.121	0.154	0.19	0.285	4000	1
	theta[6]	0.139	0.0012	0.074	0.013	0.088	0.132	0.18	0.306	4000	1
	theta[7]	0.136	0.0012	0.074	0.007	0.087	0.13	0.176	0.296	4000	1
	theta[8]	0.139	0.0016	0.069	0.022	0.091	0.133	0.178	0.294	1949	1
	theta[9]	0.121	0.0017	0.068	0.017	0.075	0.114	0.158	0.276	1526	1.01
	theta[10]	0.159	0.0031	0.093	0	0.1	0.152	0.209	0.368	897	1.01
	theta[11]	0.148	7e-4	0.046	0.063	0.118	0.146	0.175	0.249	4000	1
	theta[12]	0.111	0.0013	0.058	0.018	0.071	0.104	0.143	0.244	2046	1
	theta[13]	0.147	7e-4	0.047	0.061	0.117	0.145	0.172	0.248	4000	1
	theta[14]	0.106	0.0017	0.063	0.008	0.062	0.099	0.14	0.249	1322	1
	theta[15]	0.124	0.0028	0.078	0	0.074	0.118	0.166	0.29	775	1.01
	theta[16]	0.122	0.0042	0.076	0	0.072	0.116	0.163	0.287	331	1.01
	theta[17]	0.129	0.002	0.068	0.015	0.082	0.123	0.166	0.283	1147	1
	theta[18]	0.157	0.0014	0.058	0.047	0.12	0.155	0.191	0.279	1716	1
	theta[19]	0.148	7e-4	0.047	0.065	0.118	0.145	0.176	0.246	4000	1
	theta[20]	0.157	0.0014	0.057	0.053	0.121	0.153	0.191	0.283	1710	1
	theta[21]	0.135	0.0031	0.076	0.002	0.084	0.129	0.178	0.307	602	1.01
	theta[22]	0.141	0.0013	0.07	0.021	0.093	0.134	0.18	0.305	2860	1
	theta[23]	0.137	0.0011	0.072	0.016	0.089	0.13	0.176	0.3	4000	1
	theta[24]	0.136	0.0019	0.075	0.01	0.086	0.128	0.178	0.303	1627	1
	theta[25]	0.159	0.0013	0.058	0.054	0.121	0.156	0.191	0.281	2069	1
	theta[26]	0.133	0.0016	0.07	0.016	0.089	0.127	0.169	0.291	1912	1
	theta[27]	0.135	0.0013	0.061	0.034	0.095	0.128	0.168	0.272	2272	1
	theta[28]	0.156	0.0013	0.073	0.027	0.107	0.149	0.197	0.315	3031	1
	theta[29]	0.111	0.0015	0.06	0.012	0.07	0.106	0.143	0.245	1608	1
	theta[30]	0.127	0.0016	0.075	0.006	0.077	0.119	0.168	0.295	2290	1
	theta[31]	0.128	0.0018	0.068	0.015	0.082	0.122	0.166	0.281	1408	1
	theta[32]	0.121	0.0017	0.067	0.015	0.075	0.114	0.159	0.273	1572	1
	theta[33]	0.158	0.0017	0.061	0.042	0.119	0.153	0.192	0.293	1303	1
	theta[34]	0.13	0.0013	0.069	0.022	0.083	0.124	0.166	0.285	2914	1
	theta[35]	0.1	0.0017	0.069	0.002	0.053	0.091	0.136	0.257	1731	1
	theta[36]	0.142	0.0052	0.086	0	0.093	0.138	0.183	0.321	272	1.01
	theta[37]	0.112	0.0017	0.059	0.016	0.072	0.106	0.145	0.249	1253	1
	theta[38]	0.147	0.0014	0.061	0.043	0.105	0.142	0.182	0.284	1991	1
	theta[39]	0.158	0.0015	0.057	0.052	0.122	0.155	0.191	0.281	1425	1
	theta[40]	0.149	8e-4	0.048	0.064	0.118	0.146	0.174	0.249	4000	1
	theta[41]	0.215	0.0015	0.072	0.075	0.17	0.213	0.256	0.369	2375	1
	theta[42]	0.122	0.0017	0.066	0.019	0.078	0.115	0.157	0.266	1527	1.01
	theta[43]	0.172	0.0019	0.077	0.026	0.123	0.166	0.215	0.332	1591	1
	theta[44]	0.156	0.0015	0.073	0.024	0.107	0.15	0.198	0.319	2231	1
	theta[45]	0.129	0.002	0.069	0.013	0.082	0.123	0.167	0.282	1246	1
	theta[46]	0.157	0.0051	0.091	0	0.1	0.152	0.207	0.358	320	1.01
	theta[47]	0.158	0.0011	0.058	0.053	0.123	0.156	0.191	0.284	2605	1
	theta[48]	0.122	0.0045	0.075	0	0.071	0.117	0.164	0.286	279	1.02
	theta[49]	0.121	0.0016	0.065	0.013	0.076	0.115	0.159	0.267	1626	1
	theta[50]	0.138	0.0011	0.071	0.019	0.09	0.132	0.176	0.301	4000	1
	theta[51]	0.214	0.0012	0.074	0.069	0.168	0.212	0.258	0.369	4000	1
	theta[52]	0.129	0.0011	0.07	0.011	0.083	0.121	0.166	0.288	4000	1
	theta[53]	0.156	0.0013	0.058	0.052	0.119	0.153	0.19	0.278	2091	1
	theta[54]	0.138	0.002	0.077	0.005	0.086	0.131	0.18	0.307	1498	1
	theta[55]	0.147	0.0017	0.087	0.008	0.093	0.139	0.187	0.35	2720	1
	theta[56]	0.122	0.0017	0.064	0.015	0.078	0.116	0.158	0.27	1513	1
	theta[57]	0.158	0.0014	0.061	0.048	0.12	0.155	0.19	0.282	1845	1
	theta[58]	0.158	0.0013	0.061	0.05	0.12	0.155	0.191	0.283	2076	1
	theta[59]	0.13	0.002	0.07	0.012	0.083	0.124	0.167	0.288	1205	1
	theta[60]	0.141	0.0013	0.065	0.034	0.097	0.135	0.179	0.29	2455	1
	theta[61]	0.13	0.0018	0.068	0.019	0.083	0.121	0.168	0.289	1447	1
	theta[62]	0.148	7e-4	0.046	0.065	0.118	0.146	0.175	0.245	4000	1
	theta[63]	0.13	0.0017	0.07	0.017	0.083	0.124	0.167	0.285	1714	1
	theta[64]	0.13	0.0019	0.069	0.016	0.083	0.124	0.166	0.281	1308	1
	theta[65]	0.216	0.0011	0.072	0.079	0.169	0.212	0.259	0.37	4000	1
	theta[66]	0.159	0.001	0.061	0.046	0.121	0.156	0.191	0.29	4000	1
	theta[67]	0.157	0.0013	0.058	0.048	0.12	0.153	0.189	0.28	2183	1
	theta[68]	0.122	0.0016	0.067	0.016	0.076	0.115	0.16	0.276	1653	1.01
	theta[69]	0.147	0.0014	0.061	0.04	0.105	0.143	0.182	0.279	1864	1
	theta[70]	0.101	0.0018	0.067	0.002	0.055	0.093	0.136	0.256	1333	1.01
	theta[71]	0.111	0.0017	0.059	0.014	0.071	0.106	0.144	0.238	1140	1
	theta[72]	0.122	0.0018	0.066	0.015	0.075	0.115	0.159	0.266	1361	1
	theta[73]	0.121	0.0016	0.067	0.018	0.075	0.114	0.157	0.276	1714	1
	theta[74]	0.112	0.0013	0.061	0.019	0.071	0.105	0.144	0.247	2196	1
	theta[75]	0.121	0.0017	0.065	0.017	0.076	0.113	0.158	0.265	1460	1
	theta[76]	0.099	0.0021	0.067	0.001	0.053	0.091	0.135	0.239	1033	1
	theta[77]	0.137	0.0012	0.06	0.04	0.096	0.13	0.17	0.271	2488	1
	theta[78]	0.137	0.0017	0.077	0.007	0.086	0.128	0.179	0.314	2101	1
	theta[79]	0.157	0.0015	0.061	0.048	0.119	0.153	0.19	0.286	1623	1
	theta[80]	0.172	0.002	0.076	0.028	0.123	0.169	0.214	0.333	1511	1
	theta[81]	0.129	0.0015	0.07	0.01	0.084	0.124	0.167	0.278	2176	1
	theta[82]	0.129	0.0018	0.067	0.017	0.082	0.122	0.166	0.279	1393	1
	theta[83]	0.129	0.0025	0.069	0.012	0.082	0.123	0.168	0.281	743	1.01
	theta[84]	0.13	0.0014	0.073	0.013	0.084	0.124	0.165	0.303	2846	1
	theta[85]	0.148	7e-4	0.047	0.063	0.117	0.145	0.175	0.248	4000	1
	theta[86]	0.121	0.0017	0.066	0.017	0.076	0.114	0.157	0.267	1543	1
	theta[87]	0.133	0.0015	0.067	0.018	0.089	0.127	0.169	0.286	1948	1
	theta[88]	0.132	0.0012	0.057	0.036	0.093	0.126	0.165	0.263	2128	1
	theta[89]	0.122	0.0011	0.069	0.007	0.075	0.115	0.162	0.273	4000	1
	theta[90]	0.21	0.0012	0.074	0.067	0.163	0.209	0.253	0.364	4000	1
	theta[91]	0.168	0.0019	0.072	0.033	0.121	0.163	0.21	0.321	1377	1
	theta[92]	0.168	0.0022	0.074	0.029	0.12	0.164	0.211	0.323	1084	1
	theta[93]	0.109	0.0014	0.057	0.017	0.069	0.104	0.141	0.235	1638	1
	theta[94]	0.117	0.0033	0.095	0	0.042	0.108	0.167	0.342	812	1
	theta[95]	0.098	0.0019	0.066	0.002	0.053	0.091	0.131	0.242	1156	1
	theta[96]	0.1	0.0013	0.053	0.014	0.064	0.095	0.129	0.216	1720	1
	theta[97]	0.12	0.0015	0.095	0	0.045	0.111	0.17	0.339	4000	1
	theta[98]	0.132	0.0013	0.058	0.035	0.094	0.127	0.164	0.26	2114	1
	theta[99]	0.128	0.0017	0.067	0.019	0.083	0.122	0.163	0.281	1661	1
	theta[100]	0.146	7e-4	0.046	0.063	0.116	0.143	0.173	0.245	4000	1
	theta[101]	0.155	9e-4	0.058	0.048	0.118	0.153	0.188	0.276	4000	1
	theta[102]	0.185	0.0014	0.091	0.026	0.123	0.183	0.238	0.383	4000	1
	theta[103]	0.145	7e-4	0.045	0.061	0.115	0.143	0.172	0.24	4000	1
	theta[104]	0.134	0.0012	0.074	0.014	0.083	0.126	0.174	0.303	4000	1
	theta[105]	0.154	9e-4	0.057	0.05	0.118	0.152	0.187	0.276	4000	1
	theta[106]	0.117	0.003	0.09	0	0.047	0.11	0.167	0.322	892	1
	theta[107]	0.137	0.0015	0.067	0.017	0.091	0.133	0.177	0.281	2121	1
	theta[108]	0.155	9e-4	0.058	0.045	0.117	0.152	0.189	0.28	4000	1
	theta[109]	0.108	0.0019	0.057	0.014	0.069	0.103	0.141	0.232	881	1
	theta[110]	0.154	0.0016	0.056	0.044	0.118	0.152	0.186	0.274	1299	1
	theta[111]	0.096	0.0016	0.064	0.003	0.052	0.089	0.13	0.241	1520	1
	theta[112]	0.156	0.0027	0.09	0.002	0.098	0.15	0.204	0.359	1163	1
	theta[113]	0.156	0.0014	0.057	0.051	0.119	0.153	0.187	0.281	1669	1
	theta[114]	0.145	7e-4	0.045	0.06	0.115	0.142	0.172	0.241	4000	1
	theta[115]	0.145	7e-4	0.045	0.064	0.114	0.142	0.172	0.243	4000	1
	theta[116]	0.212	0.0015	0.072	0.074	0.166	0.211	0.255	0.363	2313	1
	theta[117]	0.145	7e-4	0.045	0.064	0.115	0.143	0.171	0.241	4000	1
	theta[118]	0.155	0.0015	0.056	0.048	0.12	0.154	0.187	0.275	1397	1
	theta[119]	0.145	0.0014	0.06	0.044	0.105	0.141	0.178	0.279	1808	1
	theta[120]	0.102	0.0013	0.053	0.015	0.065	0.097	0.132	0.225	1780	1
	theta[121]	0.145	7e-4	0.046	0.062	0.116	0.143	0.172	0.244	4000	1
	theta[122]	0.166	0.0026	0.118	0.002	0.067	0.156	0.242	0.427	2028	1
	theta[123]	0.164	0.0027	0.12	0.001	0.067	0.149	0.24	0.435	2030	1
	theta[124]	0.155	0.0014	0.056	0.051	0.118	0.152	0.188	0.278	1663	1
	theta[125]	0.133	0.0014	0.071	0.015	0.085	0.126	0.172	0.29	2663	1
	theta[126]	0.1	0.0015	0.061	0.006	0.058	0.092	0.133	0.228	1652	1
	theta[127]	0.133	0.0012	0.073	0.009	0.082	0.127	0.175	0.299	4000	1
	theta[128]	0.146	9e-4	0.045	0.066	0.116	0.143	0.173	0.241	2716	1
	theta[129]	0.133	0.0019	0.072	0.008	0.086	0.127	0.173	0.288	1475	1
	theta[130]	0.124	0.0015	0.065	0.012	0.081	0.12	0.16	0.269	1962	1
	theta[131]	0.136	0.0067	0.077	0	0.086	0.133	0.18	0.3	132	1.02
	theta[132]	0.134	0.0012	0.073	0.008	0.084	0.129	0.175	0.291	4000	1
	theta[133]	0.168	0.0018	0.073	0.032	0.122	0.165	0.21	0.324	1615	1
	theta[134]	0.136	0.0057	0.079	0.001	0.085	0.133	0.179	0.301	194	1.01
	theta[135]	0.101	0.0012	0.054	0.012	0.064	0.096	0.131	0.22	2021	1
	theta[136]	0.119	0.0033	0.096	0	0.044	0.111	0.169	0.348	832	1
	theta[137]	0.155	0.0013	0.056	0.053	0.12	0.153	0.187	0.272	1811	1
	theta[138]	0.133	0.0012	0.057	0.036	0.093	0.128	0.165	0.258	2135	1
	theta[139]	0.121	0.0024	0.072	0.001	0.071	0.116	0.163	0.286	899	1
	theta[140]	0.103	0.0016	0.063	0.008	0.059	0.097	0.137	0.236	1552	1
	theta[141]	0.145	7e-4	0.045	0.06	0.115	0.143	0.172	0.239	4000	1
	theta[142]	0.126	0.0011	0.053	0.035	0.09	0.121	0.157	0.24	2477	1
	theta[143]	0.134	0.0053	0.075	0	0.088	0.131	0.177	0.29	198	1.02
	theta[144]	0.092	0.0034	0.063	0	0.046	0.085	0.128	0.236	339	1.01
	theta[145]	0.205	0.0019	0.069	0.065	0.162	0.205	0.248	0.34	1277	1
	theta[146]	0.122	0.0018	0.064	0.011	0.079	0.117	0.158	0.258	1253	1
	theta[147]	0.133	0.0014	0.062	0.025	0.088	0.128	0.17	0.269	1919	1
	theta[148]	0.144	7e-4	0.044	0.061	0.115	0.143	0.171	0.238	4000	1
	theta[149]	0.13	0.0011	0.056	0.033	0.093	0.124	0.162	0.251	2471	1
	theta[150]	0.151	0.0024	0.058	0.039	0.115	0.149	0.184	0.272	595	1.01
	theta[151]	0.124	0.001	0.052	0.032	0.09	0.119	0.155	0.24	2507	1
	theta[152]	0.092	0.0027	0.064	0	0.046	0.086	0.127	0.238	542	1
	theta[153]	0.142	0.0016	0.06	0.04	0.101	0.137	0.178	0.269	1404	1
	theta[154]	0.094	0.002	0.06	0.002	0.052	0.087	0.128	0.228	904	1
	theta[155]	0.122	0.0016	0.064	0.009	0.08	0.117	0.158	0.261	1543	1
	theta[156]	0.109	0.0034	0.086	0	0.039	0.104	0.159	0.299	647	1
	theta[157]	0.093	0.0021	0.061	0.001	0.05	0.087	0.128	0.23	816	1
	theta[158]	0.106	0.0014	0.056	0.013	0.068	0.101	0.138	0.234	1641	1
	theta[159]	0.131	0.0013	0.058	0.034	0.091	0.125	0.162	0.259	2109	1
	theta[160]	0.106	0.0015	0.055	0.012	0.068	0.101	0.138	0.229	1440	1
	theta[161]	0.093	0.0021	0.058	0.002	0.052	0.087	0.127	0.229	750	1
	theta[162]	0.201	0.0019	0.068	0.067	0.157	0.201	0.245	0.34	1324	1
	theta[163]	0.095	0.0016	0.058	0.004	0.055	0.09	0.127	0.218	1368	1
	theta[164]	0.144	0.0026	0.081	0.002	0.091	0.143	0.193	0.315	970	1
	theta[165]	0.104	0.0034	0.08	0	0.039	0.097	0.153	0.28	544	1
	theta[166]	0.141	0.001	0.044	0.062	0.112	0.139	0.167	0.237	1861	1
	theta[167]	0.098	0.0012	0.052	0.012	0.063	0.092	0.128	0.214	1730	1
	theta[168]	0.146	0.0028	0.084	0.001	0.089	0.142	0.196	0.325	872	1
	theta[169]	0.103	0.0034	0.079	0	0.039	0.097	0.153	0.269	539	1
	theta[170]	0.2	0.0021	0.069	0.059	0.157	0.199	0.241	0.341	1072	1
	theta[171]	0.094	0.0017	0.055	0.005	0.055	0.088	0.127	0.217	1071	1
	theta[172]	0.115	0.0025	0.066	0.003	0.069	0.109	0.155	0.26	692	1
	theta[173]	0.149	0.002	0.055	0.039	0.115	0.147	0.181	0.261	770	1
	theta[174]	0.132	0.0013	0.061	0.028	0.089	0.126	0.17	0.267	2071	1
	theta[175]	0.124	0.0016	0.061	0.016	0.084	0.12	0.16	0.258	1532	1
	theta[176]	0.12	0.0014	0.062	0.015	0.076	0.115	0.159	0.253	2027	1
	theta[177]	0.099	0.0017	0.056	0.006	0.058	0.094	0.132	0.221	1142	1
	theta[178]	0.161	0.0025	0.073	0.012	0.114	0.158	0.207	0.313	867	1
	theta[179]	0.097	0.0017	0.057	0.003	0.056	0.091	0.13	0.219	1055	1
	theta[180]	0.168	0.0013	0.082	0.026	0.109	0.166	0.218	0.34	4000	1
	theta[181]	0.127	0.0056	0.069	0.001	0.082	0.126	0.17	0.272	156	1.02
	theta[182]	0.098	0.0019	0.062	0	0.054	0.093	0.136	0.234	1103	1
	theta[183]	0.162	0.0013	0.082	0.019	0.1	0.161	0.216	0.329	4000	1
	theta[184]	0.131	0.0013	0.063	0.015	0.088	0.127	0.171	0.269	2292	1
	theta[185]	0.122	0.0015	0.06	0.017	0.08	0.117	0.157	0.255	1631	1
	theta[186]	0.14	7e-4	0.043	0.059	0.111	0.138	0.166	0.23	4000	1
	theta[187]	0.139	0.001	0.043	0.058	0.113	0.138	0.165	0.228	1718	1
	theta[188]	0.125	0.0016	0.065	0.008	0.081	0.121	0.164	0.263	1587	1
	theta[189]	0.117	0.0015	0.064	0.004	0.072	0.112	0.156	0.257	1732	1
	theta[190]	0.137	0.0016	0.056	0.036	0.098	0.134	0.171	0.256	1274	1
	theta[191]	0.117	0.0017	0.06	0.009	0.076	0.113	0.154	0.248	1226	1
	theta[192]	0.137	0.0015	0.056	0.036	0.1	0.134	0.172	0.253	1386	1
	theta[193]	0.141	7e-4	0.044	0.059	0.112	0.139	0.167	0.234	4000	1
	theta[194]	0.093	0.0016	0.054	0.005	0.053	0.088	0.127	0.211	1142	1
	theta[195]	0.093	0.0015	0.054	0.005	0.054	0.088	0.126	0.209	1239	1
	theta[196]	0.125	0.0055	0.071	0.001	0.078	0.123	0.169	0.272	167	1.02
	theta[197]	0.12	0.0014	0.061	0.016	0.075	0.116	0.157	0.254	1874	1
	theta[198]	0.096	0.0012	0.05	0.015	0.062	0.091	0.124	0.211	1837	1
	theta[199]	0.093	0.0015	0.054	0.003	0.055	0.087	0.126	0.214	1273	1
	theta[200]	0.191	0.0023	0.067	0.051	0.149	0.193	0.234	0.322	862	1
	theta[201]	0.096	0.0038	0.074	0	0.029	0.092	0.147	0.254	381	1
	theta[202]	0.137	0.0011	0.043	0.057	0.109	0.136	0.164	0.227	1665	1
	theta[203]	0.134	0.0017	0.056	0.033	0.097	0.131	0.166	0.254	1098	1
	theta[204]	0.094	0.0017	0.054	0.003	0.055	0.09	0.129	0.209	971	1
	theta[205]	0.126	0.0024	0.096	0	0.044	0.113	0.191	0.341	1609	1
	theta[206]	0.087	0.0023	0.054	0.002	0.047	0.082	0.121	0.205	533	1.01
	theta[207]	0.158	0.0014	0.063	0.029	0.118	0.159	0.198	0.285	2121	1
	theta[208]	0.11	0.0018	0.063	0	0.063	0.107	0.149	0.24	1168	1
	theta[209]	0.138	7e-4	0.042	0.06	0.11	0.136	0.164	0.229	4000	1
	theta[210]	0.152	0.0028	0.069	0.015	0.108	0.151	0.196	0.296	609	1
	theta[211]	0.1	0.0016	0.052	0.012	0.064	0.096	0.132	0.211	1003	1
	theta[212]	0.145	0.0018	0.053	0.04	0.111	0.144	0.179	0.255	866	1
	theta[213]	0.085	0.0029	0.059	0	0.042	0.08	0.121	0.215	406	1.01
	theta[214]	0.157	0.0024	0.078	0.02	0.102	0.156	0.208	0.314	1090	1
	theta[215]	0.157	0.0022	0.078	0.017	0.1	0.156	0.208	0.322	1320	1
	theta[216]	0.095	0.0011	0.049	0.013	0.059	0.089	0.124	0.201	2080	1
	theta[217]	0.144	0.0021	0.054	0.039	0.109	0.143	0.177	0.254	656	1
	theta[218]	0.156	0.0022	0.078	0.019	0.1	0.156	0.207	0.319	1299	1
	theta[219]	0.118	0.0061	0.067	0.001	0.073	0.118	0.16	0.253	122	1.02
	theta[220]	0.093	0.0016	0.053	0.002	0.054	0.09	0.127	0.202	1095	1
	theta[221]	0.146	0.0023	0.073	0.017	0.091	0.146	0.196	0.293	1031	1
	theta[222]	0.09	0.0012	0.047	0.011	0.057	0.086	0.119	0.195	1464	1
	theta[223]	0.185	0.0023	0.064	0.055	0.145	0.187	0.228	0.31	760	1
	theta[224]	0.139	0.0022	0.051	0.033	0.107	0.14	0.17	0.245	528	1
	theta[225]	0.109	0.0019	0.057	0.005	0.069	0.107	0.144	0.228	899	1
	theta[226]	0.134	7e-4	0.042	0.054	0.107	0.132	0.16	0.221	4000	1
	theta[227]	0.115	0.0016	0.057	0.016	0.075	0.112	0.15	0.235	1290	1
	theta[228]	0.088	0.004	0.07	0	0.023	0.083	0.135	0.236	302	1.01
	theta[229]	0.142	0.0025	0.073	0.014	0.087	0.142	0.193	0.286	840	1
	theta[230]	0.08	0.003	0.055	0	0.038	0.076	0.116	0.199	331	1.01
	theta[231]	0.084	0.0039	0.068	0	0.023	0.079	0.133	0.231	307	1.01
	theta[232]	0.091	0.0016	0.057	0.001	0.049	0.086	0.127	0.214	1233	1
	theta[233]	0.132	0.0011	0.042	0.051	0.105	0.131	0.158	0.222	1475	1
	theta[234]	0.087	0.0013	0.045	0.01	0.056	0.084	0.114	0.187	1213	1
	theta[235]	0.135	0.0024	0.052	0.031	0.102	0.135	0.168	0.238	457	1
	theta[236]	0.137	0.0024	0.073	0.014	0.082	0.136	0.187	0.286	920	1
	theta[237]	0.115	0.0012	0.045	0.036	0.083	0.111	0.143	0.209	1390	1
	theta[238]	0.127	0.0018	0.053	0.036	0.088	0.123	0.163	0.239	844	1
	theta[239]	0.121	9e-4	0.044	0.042	0.09	0.119	0.149	0.217	2333	1
	theta[240]	0.123	0.001	0.048	0.039	0.088	0.119	0.152	0.226	2175	1
	theta[241]	0.142	7e-4	0.042	0.066	0.115	0.14	0.168	0.233	4000	1
	theta[242]	0.136	6e-4	0.038	0.066	0.111	0.135	0.16	0.216	4000	1
	theta[243]	0.136	6e-4	0.038	0.065	0.11	0.135	0.161	0.214	4000	1
	theta[244]	0.138	6e-4	0.038	0.067	0.112	0.137	0.161	0.22	4000	1
	theta[245]	0.133	9e-4	0.057	0.036	0.092	0.127	0.169	0.255	4000	1
	theta[246]	0.111	0.001	0.05	0.029	0.076	0.106	0.14	0.223	2372	1
	theta[247]	0.128	8e-4	0.05	0.044	0.092	0.124	0.158	0.239	4000	1
	theta[248]	0.138	9e-4	0.057	0.042	0.096	0.133	0.172	0.265	4000	1
	theta[249]	0.108	7e-4	0.045	0.033	0.077	0.102	0.134	0.205	4000	1
	theta[250]	0.171	7e-4	0.044	0.089	0.14	0.17	0.2	0.259	4000	1
	theta[251]	0.11	8e-4	0.05	0.031	0.076	0.105	0.139	0.226	4000	1
	theta[252]	0.195	9e-4	0.058	0.082	0.158	0.195	0.232	0.311	4000	1
	theta[253]	0.158	7e-4	0.043	0.079	0.129	0.157	0.186	0.245	4000	1
	theta[254]	0.177	0.0011	0.067	0.056	0.13	0.174	0.218	0.318	4000	1
	theta[255]	0.142	7e-4	0.045	0.064	0.11	0.139	0.17	0.24	4000	1
	theta[256]	0.143	0.001	0.06	0.046	0.101	0.137	0.178	0.279	4000	1
	theta[257]	0.132	0.001	0.05	0.047	0.098	0.127	0.162	0.243	2527	1
	theta[258]	0.159	9e-4	0.054	0.062	0.124	0.157	0.191	0.274	4000	1
	theta[259]	0.149	7e-4	0.044	0.07	0.12	0.147	0.175	0.245	4000	1
	theta[260]	0.201	0.0017	0.059	0.079	0.164	0.202	0.239	0.317	1218	1
	theta[261]	0.19	8e-4	0.051	0.096	0.156	0.188	0.222	0.295	4000	1
	theta[262]	0.148	6e-4	0.039	0.077	0.121	0.146	0.172	0.23	4000	1
	theta[263]	0.175	9e-4	0.059	0.068	0.133	0.173	0.214	0.301	4000	1
	theta[264]	0.134	0.001	0.047	0.052	0.102	0.129	0.163	0.235	2282	1
	theta[265]	0.151	7e-4	0.043	0.074	0.122	0.149	0.176	0.244	4000	1
	theta[266]	0.153	0.0011	0.057	0.056	0.113	0.147	0.185	0.274	2527	1
	theta[267]	0.154	0.0011	0.058	0.055	0.114	0.148	0.186	0.284	3045	1
	theta[268]	0.162	9e-4	0.054	0.065	0.126	0.16	0.194	0.28	4000	1
	theta[269]	0.163	9e-4	0.054	0.068	0.128	0.159	0.194	0.285	4000	1
	theta[270]	0.116	0.0011	0.061	0.027	0.074	0.107	0.146	0.262	3084	1
	theta[271]	0.151	7e-4	0.045	0.071	0.121	0.149	0.177	0.25	4000	1
	theta[272]	0.136	9e-4	0.048	0.054	0.102	0.131	0.164	0.24	2925	1
	theta[273]	0.21	0.001	0.061	0.095	0.168	0.207	0.248	0.336	4000	1
	theta[274]	0.19	9e-4	0.054	0.092	0.151	0.187	0.223	0.307	4000	1
	theta[275]	0.195	9e-4	0.06	0.087	0.153	0.193	0.233	0.322	4000	1
	theta[276]	0.158	6e-4	0.039	0.09	0.13	0.155	0.181	0.242	4000	1
	theta[277]	0.153	7e-4	0.044	0.075	0.124	0.15	0.178	0.251	4000	1
	theta[278]	0.165	9e-4	0.056	0.071	0.127	0.16	0.197	0.289	4000	1
	theta[279]	0.12	0.001	0.065	0.026	0.077	0.111	0.152	0.273	4000	1
	theta[280]	0.153	7e-4	0.045	0.074	0.123	0.15	0.179	0.246	4000	1
	theta[281]	0.15	0.0013	0.065	0.047	0.106	0.144	0.185	0.301	2617	1
	theta[282]	0.152	7e-4	0.046	0.073	0.122	0.149	0.178	0.255	4000	1
	theta[283]	0.147	0.001	0.054	0.059	0.109	0.14	0.176	0.272	2706	1
	theta[284]	0.207	0.0012	0.077	0.073	0.152	0.201	0.253	0.377	4000	1
	theta[285]	0.219	0.001	0.063	0.099	0.177	0.216	0.255	0.356	4000	1
	theta[286]	0.158	7e-4	0.042	0.084	0.13	0.155	0.182	0.25	4000	1
	theta[287]	0.205	0.001	0.064	0.09	0.159	0.202	0.243	0.347	4000	1
	theta[288]	0.215	9e-4	0.055	0.112	0.179	0.213	0.249	0.33	4000	1
	theta[289]	0.213	9e-4	0.06	0.109	0.172	0.208	0.249	0.345	4000	1
	theta[290]	0.217	0.0011	0.068	0.1	0.17	0.212	0.256	0.364	4000	1
	theta[291]	0.175	8e-4	0.051	0.089	0.14	0.17	0.204	0.291	4000	1
	theta[292]	0.227	0.0011	0.07	0.103	0.178	0.223	0.271	0.377	4000	1
	theta[293]	0.215	7e-4	0.042	0.139	0.186	0.213	0.241	0.306	4000	1
	theta[294]	0.23	8e-4	0.048	0.143	0.197	0.228	0.26	0.333	4000	1
	theta[295]	0.169	0.0011	0.072	0.053	0.119	0.159	0.21	0.337	4000	1
	theta[296]	0.153	0.0011	0.068	0.045	0.105	0.145	0.191	0.312	3544	1
	theta[297]	0.169	9e-4	0.058	0.067	0.131	0.164	0.201	0.3	4000	1
	theta[298]	0.148	0.0013	0.067	0.043	0.104	0.139	0.183	0.304	2627	1
	theta[299]	0.158	0.0011	0.062	0.061	0.114	0.152	0.191	0.302	3010	1
	theta[300]	0.126	0.0013	0.063	0.035	0.084	0.117	0.157	0.27	2301	1
	theta[301]	0.176	0.0017	0.108	0.025	0.107	0.157	0.218	0.471	4000	1
	theta[302]	0.168	0.0011	0.07	0.057	0.121	0.161	0.207	0.322	4000	1
	theta[303]	0.162	0.001	0.064	0.059	0.119	0.155	0.199	0.309	4000	1
	theta[304]	0.174	0.0011	0.068	0.065	0.126	0.164	0.212	0.331	4000	1
	theta[305]	0.227	0.001	0.064	0.113	0.184	0.223	0.265	0.365	4000	1
	theta[306]	0.174	9e-4	0.056	0.084	0.138	0.169	0.204	0.303	4000	1
	theta[307]	0.198	9e-4	0.059	0.101	0.156	0.191	0.233	0.331	4000	1
	theta[308]	0.224	6e-4	0.038	0.155	0.197	0.222	0.248	0.305	4000	1
	theta[309]	0.242	0.001	0.061	0.139	0.199	0.236	0.281	0.379	4000	1
	theta[310]	0.182	7e-4	0.042	0.112	0.152	0.178	0.207	0.277	4000	1
	theta[311]	0.162	7e-4	0.046	0.085	0.131	0.158	0.188	0.264	4000	1
	theta[312]	0.256	0.0014	0.091	0.099	0.191	0.25	0.311	0.457	4000	1
	theta[313]	0.226	0.0013	0.083	0.102	0.165	0.212	0.277	0.419	4000	1
	theta[314]	0.169	8e-4	0.048	0.09	0.137	0.165	0.194	0.28	4000	1
	theta[315]	0.182	7e-4	0.046	0.106	0.15	0.177	0.208	0.29	4000	1
	theta[316]	0.286	9e-4	0.055	0.19	0.246	0.281	0.32	0.403	4000	1
	theta[317]	0.15	0.0012	0.062	0.054	0.108	0.143	0.183	0.286	2897	1
	theta[318]	0.162	0.0014	0.064	0.064	0.119	0.154	0.195	0.311	2048	1
	theta[319]	0.179	0.0063	0.096	0.05	0.12	0.161	0.213	0.425	235	1.02
	theta[320]	0.195	0.0035	0.124	0.032	0.114	0.165	0.24	0.537	1241	1
	theta[321]	0.148	0.0013	0.073	0.042	0.098	0.137	0.185	0.321	3276	1
	theta[322]	0.152	0.0015	0.071	0.047	0.104	0.141	0.185	0.325	2185	1
	theta[323]	0.172	0.001	0.061	0.076	0.133	0.164	0.202	0.312	4000	1
	theta[324]	0.173	0.0013	0.061	0.072	0.133	0.165	0.204	0.313	2375	1
	theta[325]	0.158	0.0017	0.077	0.045	0.105	0.147	0.195	0.342	2145	1
	theta[326]	0.157	0.0015	0.07	0.05	0.11	0.149	0.192	0.325	2276	1
	theta[327]	0.236	0.0011	0.07	0.114	0.189	0.231	0.273	0.389	4000	1
	theta[328]	0.202	0.0014	0.074	0.082	0.152	0.192	0.241	0.37	2873	1
	theta[329]	0.183	0.0015	0.075	0.07	0.132	0.173	0.221	0.358	2600	1
	theta[330]	0.133	0.0016	0.063	0.045	0.091	0.123	0.161	0.294	1546	1
	theta[331]	0.213	9e-4	0.059	0.109	0.173	0.209	0.247	0.342	4000	1
	theta[332]	0.191	0.0058	0.091	0.068	0.13	0.173	0.229	0.435	243	1.02
	theta[333]	0.241	0.0014	0.089	0.095	0.182	0.231	0.288	0.449	4000	1
	theta[334]	0.237	0.0011	0.071	0.117	0.189	0.23	0.276	0.397	4000	1
	theta[335]	0.236	0.0011	0.069	0.117	0.192	0.229	0.274	0.394	4000	1
	theta[336]	0.28	0.0015	0.097	0.114	0.212	0.271	0.338	0.499	4000	1
	theta[337]	0.256	0.0013	0.083	0.116	0.2	0.246	0.302	0.447	4000	1
	theta[338]	0.247	0.001	0.065	0.135	0.203	0.243	0.285	0.397	4000	1
	theta[339]	0.246	0.001	0.066	0.133	0.201	0.239	0.284	0.391	4000	1
	theta[340]	0.222	0.001	0.063	0.119	0.18	0.214	0.257	0.367	4000	1
	theta[341]	0.222	0.001	0.064	0.123	0.177	0.214	0.256	0.376	4000	1
	theta[342]	0.179	0.0013	0.05	0.1	0.146	0.172	0.205	0.296	1359	1
	theta[343]	0.184	0.0026	0.063	0.087	0.143	0.175	0.215	0.331	563	1
	theta[344]	0.243	0.0011	0.072	0.123	0.196	0.236	0.28	0.409	4000	1
	theta[345]	0.224	0.0023	0.077	0.107	0.17	0.212	0.265	0.41	1090	1
	theta[346]	0.274	0.0014	0.087	0.136	0.215	0.263	0.322	0.48	4000	1
	theta[347]	0.275	0.0014	0.091	0.13	0.212	0.261	0.327	0.484	4000	1
	theta[348]	0.16	8e-4	0.049	0.077	0.128	0.155	0.186	0.271	4000	1
	theta[349]	0.235	0.0012	0.076	0.101	0.187	0.228	0.273	0.411	4000	1
	theta[350]	0.16	0.0025	0.085	0.045	0.107	0.146	0.191	0.385	1124	1
	theta[351]	0.166	0.0012	0.066	0.066	0.122	0.157	0.199	0.319	2851	1
	theta[352]	0.16	0.0027	0.089	0.046	0.105	0.143	0.193	0.398	1118	1
	theta[353]	0.153	0.0015	0.069	0.054	0.107	0.143	0.185	0.309	2233	1
	theta[354]	0.175	0.0019	0.063	0.079	0.135	0.166	0.205	0.323	1139	1
	theta[355]	0.166	0.0018	0.072	0.063	0.12	0.157	0.199	0.323	1615	1
	theta[356]	0.179	0.0017	0.084	0.052	0.123	0.166	0.22	0.38	2458	1
	theta[357]	0.175	0.0017	0.064	0.076	0.136	0.169	0.205	0.32	1446	1
	theta[358]	0.234	0.0012	0.075	0.104	0.187	0.227	0.274	0.407	4000	1
	theta[359]	0.197	0.0015	0.081	0.067	0.143	0.187	0.237	0.387	2776	1
	theta[360]	0.153	0.0014	0.066	0.056	0.11	0.143	0.183	0.314	2346	1
	theta[361]	0.169	8e-4	0.05	0.088	0.135	0.162	0.195	0.283	4000	1
	theta[362]	0.219	0.0011	0.06	0.118	0.179	0.213	0.252	0.357	3193	1
	theta[363]	0.263	0.0016	0.103	0.103	0.195	0.245	0.314	0.514	4000	1
	theta[364]	0.218	9e-4	0.06	0.118	0.178	0.213	0.253	0.345	4000	1
	theta[365]	0.249	0.0015	0.077	0.122	0.2	0.238	0.288	0.433	2566	1
	theta[366]	0.282	0.0016	0.102	0.125	0.211	0.265	0.336	0.522	4000	1
	theta[367]	0.272	0.0023	0.079	0.151	0.218	0.259	0.311	0.466	1168	1
	theta[368]	0.27	0.0053	0.128	0.109	0.182	0.238	0.321	0.622	582	1
	theta[369]	0.193	0.0035	0.074	0.093	0.147	0.18	0.223	0.383	439	1
	theta[370]	0.193	0.0041	0.074	0.092	0.146	0.181	0.222	0.374	336	1.01
	theta[371]	0.222	0.004	0.098	0.095	0.16	0.204	0.258	0.473	600	1
	theta[372]	0.322	0.004	0.094	0.189	0.256	0.302	0.37	0.555	567	1.01
	theta[373]	0.524	0.0026	0.114	0.304	0.442	0.528	0.607	0.739	1926	1
	theta[374]	0.418	0.0054	0.126	0.224	0.317	0.402	0.503	0.693	548	1.01
	theta[375]	0.163	0.0024	0.084	0.048	0.109	0.149	0.196	0.389	1248	1
	theta[376]	0.243	0.0017	0.079	0.113	0.194	0.234	0.283	0.438	2251	1
	theta[377]	0.162	8e-4	0.05	0.079	0.13	0.157	0.188	0.282	4000	1
	theta[378]	0.181	0.0028	0.07	0.078	0.137	0.17	0.212	0.35	620	1
	theta[379]	0.224	0.0044	0.13	0.063	0.145	0.197	0.264	0.585	893	1
	theta[380]	0.18	0.002	0.069	0.076	0.138	0.171	0.211	0.341	1196	1
	theta[381]	0.259	0.0103	0.199	0.042	0.131	0.194	0.31	0.835	375	1
	theta[382]	0.18	0.0026	0.069	0.079	0.137	0.17	0.209	0.347	697	1
	theta[383]	0.167	0.0038	0.104	0.046	0.108	0.145	0.197	0.444	751	1
	theta[384]	0.157	0.0026	0.089	0.041	0.101	0.143	0.191	0.373	1205	1
	theta[385]	0.208	0.0168	0.147	0.058	0.125	0.169	0.232	0.678	76	1.05
	theta[386]	0.167	0.0018	0.071	0.064	0.122	0.158	0.198	0.334	1550	1
	theta[387]	0.297	0.0038	0.123	0.119	0.212	0.272	0.358	0.605	1061	1
	theta[388]	0.257	0.024	0.184	0.081	0.154	0.206	0.283	0.93	59	1.06
	theta[389]	0.294	0.0037	0.12	0.127	0.21	0.271	0.356	0.597	1039	1
	theta[390]	0.242	0.0226	0.168	0.077	0.144	0.19	0.27	0.805	56	1.07
	theta[391]	0.366	0.0168	0.235	0.1	0.184	0.282	0.504	0.927	196	1.01
	mu[1]	0.144	8e-4	0.05	0.056	0.109	0.141	0.175	0.257	4000	1
	mu[2]	0.125	0.0014	0.044	0.047	0.095	0.123	0.153	0.215	967	1.01
	mu[3]	0.11	0.0012	0.039	0.04	0.082	0.109	0.136	0.19	1082	1
	mu[4]	0.139	7e-4	0.043	0.063	0.11	0.136	0.165	0.232	4000	1
	mu[5]	0.143	8e-4	0.051	0.055	0.109	0.14	0.173	0.256	4000	1
	mu[6]	0.141	0.001	0.046	0.059	0.108	0.138	0.17	0.242	2394	1
	mu[7]	0.15	6e-4	0.02	0.113	0.136	0.149	0.163	0.191	1136	1
	mu[8]	0.162	8e-4	0.05	0.078	0.127	0.156	0.191	0.275	4000	1
	mu[9]	0.181	8e-4	0.038	0.113	0.155	0.178	0.204	0.261	2494	1
	mu[10]	0.201	6e-4	0.032	0.143	0.178	0.2	0.221	0.268	2510	1
	mu[11]	0.209	6e-4	0.026	0.16	0.191	0.208	0.226	0.262	1839	1
	mu[12]	0.206	0.0015	0.054	0.113	0.166	0.201	0.241	0.319	1292	1
	mu[13]	0.134	0.001	0.043	0.056	0.104	0.132	0.16	0.223	1979	1
	mu[14]	0.146	7e-4	0.042	0.071	0.117	0.142	0.171	0.234	4000	1
	mu[15]	0.131	9e-4	0.033	0.07	0.109	0.13	0.153	0.199	1470	1
	mu[16]	0.161	8e-4	0.051	0.074	0.127	0.156	0.189	0.276	4000	1
	mu[17]	0.144	0.001	0.044	0.065	0.113	0.142	0.172	0.236	1970	1
	mu[18]	0.222	0.0011	0.031	0.165	0.2	0.22	0.242	0.285	870	1
	mu[19]	0.16	0.001	0.049	0.072	0.127	0.156	0.187	0.267	2511	1
	mu[20]	0.17	9e-4	0.055	0.079	0.133	0.165	0.2	0.3	4000	1
	mu[21]	0.131	0.0014	0.048	0.044	0.098	0.129	0.16	0.234	1211	1
	mu[22]	0.161	9e-4	0.054	0.071	0.126	0.156	0.19	0.29	4000	1
	mu[23]	0.154	9e-4	0.04	0.082	0.127	0.151	0.178	0.239	2187	1
	mu[24]	0.105	0.0014	0.04	0.034	0.076	0.103	0.131	0.187	824	1.01
	mu[25]	0.172	7e-4	0.047	0.092	0.14	0.167	0.2	0.281	4000	1
	mu[26]	0.135	9e-4	0.039	0.064	0.109	0.133	0.159	0.217	1929	1
	mu[27]	0.141	8e-4	0.049	0.054	0.106	0.139	0.171	0.246	4000	1
	mu[28]	0.162	0.001	0.027	0.111	0.143	0.16	0.18	0.218	760	1
	mu[29]	0.138	9e-4	0.035	0.075	0.113	0.136	0.161	0.214	1616	1
	mu[30]	0.147	7e-4	0.046	0.066	0.115	0.144	0.175	0.245	4000	1
	mu[31]	0.142	8e-4	0.049	0.054	0.109	0.139	0.171	0.251	4000	1
	mu[32]	0.144	8e-4	0.051	0.05	0.109	0.141	0.173	0.256	4000	1
	mu[33]	0.13	7e-4	0.046	0.047	0.097	0.128	0.159	0.23	4000	1
	mu[34]	0.141	8e-4	0.049	0.053	0.108	0.138	0.171	0.247	4000	1
	mu[35]	0.134	0.0015	0.045	0.053	0.104	0.131	0.162	0.23	923	1
	mu[36]	0.135	7e-4	0.047	0.049	0.102	0.132	0.165	0.236	4000	1
	mu[37]	0.141	8e-4	0.05	0.055	0.106	0.137	0.171	0.25	4000	1
	mu[38]	0.107	0.0012	0.037	0.04	0.081	0.106	0.131	0.183	998	1
	mu[39]	0.138	0.001	0.039	0.064	0.11	0.136	0.162	0.219	1426	1
	mu[40]	0.107	9e-4	0.032	0.052	0.084	0.106	0.127	0.174	1282	1
	mu[41]	0.141	7e-4	0.046	0.059	0.111	0.138	0.169	0.235	4000	1
	mu[42]	0.132	7e-4	0.047	0.046	0.101	0.13	0.161	0.233	4000	1
	mu[43]	0.151	0.001	0.036	0.087	0.126	0.149	0.174	0.229	1300	1.01
	mu[44]	0.109	0.0011	0.04	0.033	0.081	0.108	0.136	0.191	1246	1
	mu[45]	0.118	7e-4	0.043	0.039	0.088	0.117	0.146	0.205	4000	1
	mu[46]	0.149	6e-4	0.035	0.086	0.124	0.147	0.171	0.224	4000	1
	mu[47]	0.141	8e-4	0.05	0.05	0.107	0.139	0.172	0.249	4000	1
	mu[48]	0.173	0.001	0.049	0.092	0.14	0.167	0.201	0.285	2397	1
	mu[49]	0.143	7e-4	0.043	0.067	0.114	0.141	0.17	0.237	4000	1
	mu[50]	0.145	9e-4	0.047	0.063	0.113	0.142	0.174	0.248	2528	1
	mu[51]	0.178	0.0012	0.043	0.105	0.147	0.174	0.205	0.271	1280	1
	mu[52]	0.114	0.0011	0.036	0.049	0.089	0.113	0.137	0.189	1086	1
	mu[53]	0.142	8e-4	0.048	0.054	0.11	0.139	0.172	0.245	4000	1
	mu[54]	0.141	8e-4	0.051	0.052	0.106	0.138	0.171	0.251	4000	1
	kappa[1]	80.563	0.9426	59.618	3.483	33.957	68.836	115.598	225.62	4000	1
	kappa[2]	83.171	2.4627	60.315	5.702	34.063	71.394	119.37	227.414	600	1
	kappa[3]	78.958	2.4594	61.192	3.576	29.948	66.412	113.403	226.486	619	1
	kappa[4]	84.884	0.9452	59.779	7.879	37.952	72.2	118.274	228.315	4000	1
	kappa[5]	78.508	0.955	60.398	2.968	29.943	66.796	113.596	228.753	4000	1
	kappa[6]	80.426	1.871	60.84	3.711	31.775	69.188	114.064	225.35	1057	1.01
	kappa[7]	101.197	3.5696	58.542	21.268	55.628	89.539	138.263	236.553	269	1.02
	kappa[8]	86.57	0.9447	59.749	8.358	39.894	74.901	121.716	230.651	4000	1
	kappa[9]	78.055	1.3511	59.138	6.984	32.627	62.425	110.105	223.03	1916	1
	kappa[10]	94.982	1.681	57.969	14.999	50.756	83.707	129.494	235.717	1189	1
	kappa[11]	32.406	1.9656	34.487	4.739	11.126	19.696	39.522	134.397	308	1.01
	kappa[12]	16.953	0.7074	24.249	1.679	4.915	9.087	17.678	89.618	1175	1
	kappa[13]	80.447	1.6971	59.89	4.996	33.04	67.568	115.381	224.497	1245	1
	kappa[14]	88.786	0.9575	60.559	7.828	42.454	77.475	123.374	233.406	4000	1
	kappa[15]	95.499	1.7463	59.913	12.635	50.344	84.373	129.539	240.465	1177	1
	kappa[16]	84.648	0.9564	60.491	5.676	37.502	72.082	119.786	230.98	4000	1
	kappa[17]	83.571	1.5455	58.956	7.986	37.627	71.277	117.47	224.906	1455	1
	kappa[18]	69.312	3.2078	54.748	8.703	26.401	53.652	98.828	204.789	291	1.01
	kappa[19]	83.222	1.6221	59.299	5.379	35.305	71.466	119.218	220.569	1336	1
	kappa[20]	69.667	3.1429	59.815	0.593	20.793	55.106	103.294	217.293	362	1.02
	kappa[21]	75.963	3.1848	60.555	1.484	27.314	63.27	112.053	219.046	362	1.01
	kappa[22]	82.495	0.9337	59.055	5.403	35.89	70.744	116.234	226.917	4000	1
	kappa[23]	65.148	4.6451	59.169	1.173	15.618	49.628	98.772	212.592	162	1.02
	kappa[24]	71.617	3.0442	59.565	2.531	24.425	57.274	103.702	223.644	383	1.01
	kappa[25]	82.674	0.9194	58.146	5.556	36.664	71.668	117.038	216.353	4000	1
	kappa[26]	74.255	2.8715	59.565	3.185	26.935	60.847	107.3	220.022	430	1
	kappa[27]	78.495	1.376	59.71	3.218	29.671	66.872	113.468	223.013	1883	1
	kappa[28]	88.208	4.8224	61.374	8.408	40.043	75.209	126.521	233.365	162	1.01
	kappa[29]	86.402	2.1862	59.036	9.307	40.307	74.002	119.52	230.563	729	1
	kappa[30]	84.703	1.3223	60.131	5.614	36.594	72.823	120.501	226.353	2068	1
	kappa[31]	81.394	1.2484	58.696	5.079	35.437	69.164	117.957	216.016	2210	1
	kappa[32]	78.974	0.9757	61.709	2.325	29.828	66.176	114.859	226.348	4000	1
	kappa[33]	77.166	2.0607	60.391	2.881	28.405	64.863	111.801	221.897	859	1
	kappa[34]	77.9	0.9557	60.445	3.174	29.936	64.122	111.954	227.229	4000	1
	kappa[35]	82.77	2.9918	60.626	5.141	34.292	71.523	118.507	223.801	411	1.01
	kappa[36]	79.449	1.305	60.489	2.881	29.782	68.188	116.185	221.139	2148	1
	kappa[37]	80.008	1.1446	59.486	3.489	32.641	69.091	113.825	221.312	2701	1
	kappa[38]	78.298	2.4078	60.704	3.281	28.751	65.709	113.864	225.36	636	1
	kappa[39]	78.27	2.1695	57.978	5.334	32.559	65.558	112.356	217.571	714	1
	kappa[40]	81.525	2.4267	58.433	7.271	35.737	68.617	115.943	224.174	580	1.01
	kappa[41]	84.518	0.9731	61.546	5.919	36.952	72.137	117.92	229.886	4000	1
	kappa[42]	74.674	1.379	60.007	1.896	27.409	61.113	109.492	221.839	1894	1
	kappa[43]	89.16	2.9309	61.07	9.086	40.598	76.589	125.292	234.558	434	1.01
	kappa[44]	67.927	2.4223	60.27	0.947	18.817	52.875	102.281	212.328	619	1.01
	kappa[45]	71.524	1.5482	59.145	1.54	22.434	58.563	106.176	210.684	1459	1
	kappa[46]	36.212	3.3462	47.879	0.971	3.911	14.075	51.925	175.159	205	1.01
	kappa[47]	79.927	1.1863	59.747	3.194	32.771	67.703	114.956	220.477	2537	1
	kappa[48]	58.441	2.7805	57.23	1.669	13.012	40.782	85.736	206.13	424	1
	kappa[49]	87.337	0.9522	60.22	8.554	39.836	75.006	124.463	224.779	4000	1
	kappa[50]	83.565	1.6754	61.312	5.74	34.397	69.845	119.436	229.072	1339	1
	kappa[51]	75.577	2.6618	58.51	4.565	27.766	63.209	109.302	217.813	483	1
	kappa[52]	84.374	2.6709	59.336	5.878	37.864	72.119	120.262	223.434	494	1.01
	kappa[53]	81.489	1.6051	62.124	3.53	32.007	68.084	117.968	230.043	1498	1
	kappa[54]	80.096	0.9387	59.37	4.586	32.183	68.391	116.58	221.78	4000	1
	mu_g	0.147	6e-4	0.014	0.121	0.138	0.147	0.156	0.175	542	1.01
	kappa_g	64.646	2.0066	37.8	20.015	37.832	54.828	81.119	164.465	355	1.01
	a[1]	11.635	0.1583	10.009	0.396	4.313	9.055	16.314	37.348	4000	1
	a[2]	10.349	0.3851	8.679	0.68	3.736	8.163	14.392	32.555	508	1.01
	a[3]	8.596	0.3253	7.654	0.355	2.884	6.51	12.164	27.513	554	1.01
	a[4]	11.552	0.1417	8.96	1.039	4.902	9.426	15.946	33.693	4000	1
	a[5]	11.261	0.1574	9.953	0.336	3.745	8.759	15.769	36.68	4000	1
	a[6]	11.323	0.2922	9.698	0.429	4.03	8.869	15.961	36.294	1101	1
	a[7]	15.198	0.5237	9.13	3.061	8.011	13.263	20.746	36.963	304	1.02
	a[8]	13.945	0.1739	11.001	1.181	5.927	11.164	19.198	42.38	4000	1
	a[9]	14.222	0.2581	11.297	1.031	5.611	11.253	19.929	42.595	1916	1
	a[10]	19.168	0.3703	12.309	2.821	9.74	16.69	25.854	48.515	1105	1
	a[11]	6.851	0.4305	7.542	0.928	2.265	4.071	8.372	28.823	307	1.01
	a[12]	3.958	0.1993	6.645	0.273	0.87	1.749	3.97	23.141	1111	1
	a[13]	10.676	0.3002	9.016	0.652	3.994	8.244	15.066	34.141	902	1
	a[14]	12.747	0.1489	9.415	1.101	5.71	10.587	17.638	35.65	4000	1
	a[15]	12.401	0.2578	8.457	1.559	6.05	10.516	16.933	33.765	1076	1
	a[16]	13.664	0.1776	11.233	0.743	5.412	10.937	18.707	41.931	4000	1
	a[17]	11.948	0.2631	9.462	1.05	4.916	9.59	16.328	36.45	1293	1
	a[18]	15.479	0.7505	12.607	1.795	5.713	11.738	21.792	47.297	282	1.01
	a[19]	13.386	0.2807	10.83	0.714	5.181	10.783	18.821	41.518	1488	1
	a[20]	11.995	0.4574	11.547	0.077	3.321	8.629	17.117	41.958	637	1.01
	a[21]	10.03	0.4344	9.189	0.16	2.997	7.493	14.445	33.793	447	1
	a[22]	13.262	0.1714	10.838	0.755	5.19	10.579	18.207	41.215	4000	1
	a[23]	9.933	0.8111	9.553	0.171	2.275	7.229	14.735	34.394	139	1.02
	a[24]	7.451	0.3676	7.174	0.278	2.072	5.46	10.583	26.429	381	1.01
	a[25]	14.447	0.1797	11.364	0.821	5.939	11.908	20.301	41.607	4000	1
	a[26]	9.831	0.4146	8.496	0.428	3.342	7.583	14.172	31.35	420	1.01
	a[27]	11.1	0.2289	9.776	0.415	3.686	8.619	15.597	35.96	1825	1
	a[28]	14.259	0.809	10.353	1.29	6.245	11.821	20.048	39.368	164	1.01
	a[29]	11.705	0.328	8.506	1.311	5.331	9.538	16.18	32.911	672	1.01
	a[30]	12.513	0.2255	10.157	0.73	4.946	9.98	17.395	39.002	2029	1
	a[31]	11.535	0.2077	9.671	0.558	4.364	9.126	15.99	35.778	2169	1
	a[32]	11.295	0.1598	10.105	0.281	3.689	8.723	16.075	36.701	4000	1
	a[33]	10.075	0.2847	9.112	0.335	3.196	7.622	14.226	33.996	1025	1
	a[34]	11.017	0.1542	9.749	0.371	3.765	8.493	15.588	36.925	4000	1
	a[35]	11.078	0.4783	9.248	0.588	4.058	8.722	15.893	35.061	374	1.01
	a[36]	10.62	0.1772	9.385	0.343	3.507	8.098	15.034	34.919	2805	1
	a[37]	11.202	0.2026	9.64	0.421	4.023	8.716	15.622	35.693	2263	1
	a[38]	8.277	0.2893	7.316	0.352	2.673	6.342	11.595	26.977	639	1
	a[39]	10.649	0.3216	8.639	0.7	4.065	8.561	15.078	32.416	722	1
	a[40]	8.645	0.2868	6.878	0.753	3.434	6.872	12.151	25.6	575	1.01
	a[41]	11.964	0.1593	10.076	0.73	4.628	9.325	16.555	38.604	4000	1
	a[42]	9.836	0.2005	8.994	0.197	3.096	7.314	13.912	32.569	2013	1
	a[43]	13.45	0.499	10.038	1.38	5.85	11.106	18.745	39.514	405	1.01
	a[44]	7.186	0.3061	7.41	0.106	1.74	5.025	10.216	25.929	586	1.01
	a[45]	8.246	0.2164	7.723	0.168	2.322	6.201	11.92	27.927	1273	1
	a[46]	5.412	0.5178	7.494	0.15	0.565	1.93	7.444	27.042	209	1.01
	a[47]	11.357	0.2014	9.92	0.353	3.971	8.703	16.035	37.403	2426	1
	a[48]	10.362	0.5288	11.156	0.25	2.045	6.651	15.028	39.368	445	1
	a[49]	12.408	0.153	9.674	1.079	5.259	10.07	17.27	36.74	4000	1
	a[50]	12.149	0.2704	10.125	0.678	4.531	9.617	17.033	38.157	1402	1
	a[51]	13.644	0.5137	11.367	0.677	4.724	10.82	19.517	42.554	490	1.01
	a[52]	9.497	0.3299	7.607	0.637	3.905	7.637	13.184	28.726	532	1.01
	a[53]	11.539	0.2212	10.131	0.441	4.004	8.962	16.453	36.26	2098	1
	a[54]	11.231	0.205	9.706	0.521	4.019	8.65	15.87	36.062	2242	1
	b[1]	68.928	0.8086	51.138	2.988	29.309	58.436	99.144	191.615	4000	1
	b[2]	72.822	2.1022	53.119	4.834	30.066	62.491	104.582	202.414	638	1
	b[3]	70.362	2.1517	54.724	3.154	26.609	59.303	101.485	201.293	647	1
	b[4]	73.332	0.8232	52.063	6.634	32.436	62.538	102.163	199.341	4000	1
	b[5]	67.247	0.8225	52.017	2.48	25.381	56.888	97.366	197.565	4000	1
	b[6]	69.103	1.5952	52.511	3.137	27.447	59.293	98.047	193.982	1084	1.01
	b[7]	85.999	3.0063	49.724	17.973	47.599	76.39	117.006	201.619	274	1.02
	b[8]	72.625	0.796	50.344	6.79	33.344	63.112	102.289	193.625	4000	1
	b[9]	63.833	1.102	48.466	5.921	26.707	50.527	90.172	181.392	1934	1
	b[10]	75.814	1.3193	46.26	12.079	40.641	66.953	102.941	187.344	1230	1
	b[11]	25.555	1.5356	27.034	3.708	8.737	15.56	31.368	105.337	310	1.01
	b[12]	12.995	0.5105	17.815	1.373	3.956	7.185	13.892	66.904	1218	1
	b[13]	69.771	1.4441	52.149	4.266	28.325	58.92	100.282	195.165	1304	1
	b[14]	76.039	0.8266	52.282	6.629	35.767	66.679	105.545	199.081	4000	1
	b[15]	83.098	1.5071	52.409	10.888	43.495	73.145	111.956	210.903	1209	1
	b[16]	70.984	0.8033	50.804	4.672	31.416	60.387	100.812	194.242	4000	1
	b[17]	71.623	1.3016	50.822	6.819	32.252	60.673	100.2	196.622	1525	1
	b[18]	53.833	2.4594	42.504	6.829	20.372	41.558	76.698	162.246	299	1.01
	b[19]	69.836	1.3528	49.94	4.594	29.757	60.008	100.367	188.132	1363	1
	b[20]	57.672	2.6288	49.774	0.507	17.229	45.504	85.886	181.065	358	1.02
	b[21]	65.933	2.7546	52.76	1.298	23.696	54.82	97.272	191.566	367	1.01
	b[22]	69.233	0.7902	49.974	4.618	29.797	59.675	96.942	191.126	4000	1
	b[23]	55.215	3.9131	50.359	0.973	13.204	41.994	83.227	179.956	166	1.02
	b[24]	64.167	2.697	53.515	2.251	21.536	51.09	92.65	198.255	394	1.01
	b[25]	68.227	0.761	48.131	4.454	30.13	59.124	96.672	180.919	4000	1
	b[26]	64.424	2.4647	51.915	2.734	23.201	52.557	93.511	191.911	444	1
	b[27]	67.395	1.1677	51.455	2.793	25.518	57.066	97.62	191.158	1942	1
	b[28]	73.948	4.0201	51.489	7.069	33.629	63.264	105.174	198.638	164	1.01
	b[29]	74.697	1.8708	51.393	7.903	34.426	64.386	103.582	202.216	755	1
	b[30]	72.191	1.1114	51.407	4.875	31.23	62.665	103.078	193.162	2140	1
	b[31]	69.859	1.0613	50.677	4.343	30.614	59.422	101.571	188.759	2280	1
	b[32]	67.679	0.8423	53.273	1.991	25.454	56.212	98.346	196.45	4000	1
	b[33]	67.091	1.7839	52.694	2.527	24.734	55.884	97.022	191.076	873	1
	b[34]	66.883	0.824	52.111	2.713	25.862	54.88	95.126	194.064	4000	1
	b[35]	71.692	2.5266	52.707	4.338	29.989	61.53	102.882	194.71	435	1.01
	b[36]	68.829	1.134	52.642	2.522	25.541	58.829	100.289	192.068	2155	1
	b[37]	68.806	0.9783	51.38	3.048	28.013	59.146	98.567	190.031	2758	1
	b[38]	70.021	2.1409	54.484	2.86	25.915	58.825	101.101	198.452	648	1
	b[39]	67.622	1.865	50.354	4.512	27.951	56.84	97.275	190.089	729	1
	b[40]	72.88	2.1525	52.414	6.414	31.845	61.553	103.269	201.599	593	1.01
	b[41]	72.554	0.8354	52.836	5.114	31.94	62.146	101.541	200.485	4000	1
	b[42]	64.838	1.1931	52.303	1.668	23.675	52.499	95.63	194.156	1922	1
	b[43]	75.709	2.4464	51.959	7.569	34.532	64.944	106.091	200.049	451	1.01
	b[44]	60.741	2.1553	54.025	0.817	16.853	47.093	91.782	194.891	628	1.01
	b[45]	63.278	1.3627	52.6	1.32	19.838	51.557	93.783	185.699	1490	1
	b[46]	30.8	2.8302	40.69	0.816	3.361	12.096	44.365	148.448	207	1.01
	b[47]	68.57	1.0042	51.394	2.727	28.145	57.548	99.017	188.769	2619	1
	b[48]	48.079	2.2583	47.075	1.393	10.822	33.69	70.572	170.996	435	1
	b[49]	74.929	0.8214	51.949	7.234	33.62	64.18	106.457	194.086	4000	1
	b[50]	71.416	1.4211	52.586	4.705	29.363	59.953	101.323	196.833	1369	1
	b[51]	61.933	2.1576	48.061	3.821	23.018	51.82	89.496	179.719	496	1
	b[52]	74.877	2.3457	52.808	5.149	33.581	63.33	107.319	199.406	507	1.01
	b[53]	69.95	1.3753	53.564	3.074	27.211	58.031	100.071	196.064	1517	1
	b[54]	68.864	0.813	51.419	3.864	27.193	58.445	99.451	192.354	4000	1
	a_g	9.604	0.3205	5.926	2.833	5.499	8.034	12.07	25.037	342	1.01
	b_g	55.041	1.6878	31.96	17.159	32.309	46.751	69.029	139.594	359	1.01
	lp__	-1077.234	3.2529	47.278	-1169.32	-1110.634	-1076.38	-1042.388	-989.955	211	1.02

view raw fit_summary_hier2.tsv hosted with ❤ by GitHub

応募数と採用数が同じでも、グループによって推定採用率に違いがあることが確認できます。例として、推定採用率が比較的高いG=18に所属しているid=41の求人と、推定採用率が比較的低いG=24に所属しているid=35の求人について見てみましょう。どちらも応募1件採用0件ですが、推定採用率の期待値はそれぞれ0.215、0.1と異なっており、id=41のほうが高いことがわかります。期待通り、グループの違いが推定採用率に反映されていることがうかがえます。

一方で、データがほとんど変わらないのにパラメータが増えモデルが複雑になっているため、収束しにくくなっていることもわかると思います。ハイパーパラメータκi${\kappa }_i$の事前分布への依存性も高く、頑健性は高くありません。実務で利用する場合は、グループごとの違いが反映されるメリットと、計算が不安定化するデメリットを比較してどのモデルを使うかを決めることになると思います。また、より客観的にモデル選択をしたいのであれば、WBICを使う方法もあります。

最後に注意点を述べておこうと思います。今回のような推定結果を利用するときに気をつけなければいけいないことは、結果が事前分布や全体傾向に依存しているところです。事前分布を変更すると異なる推定値が得られることはよくありますし、データの抽出条件によって全体傾向が違うため抽出条件ごとに異なるモデルが必要とされることもあります。また、商品設計が変更されたり時間が経過したりしてデータの全体傾向が変わると、個別のデータの特徴には変化がなくとも事前分布が全体傾向に適合しなくなる可能性があるので注意が必要です。例えば、求人メディアの場合では、異なる採用率傾向をもつ求人が増えると全体傾向が変わる可能性があるので、事前分布の再検討が必要になるかもしれません。

まとめ

今回は階層ベイズを使って採用率などの分母が小さい比率を推定する方法を紹介しました。ポイントは以下の二点です

1. 個別に見るとデータ量が少なくてまともな推定が難しそうでも、全体傾向などをうまく利用すると推定が可能になることがある
2. 階層ベイズを利用することで事前分布のパラメータ（の分布）を自動的に推定できることがある

似たような方法は比率だけでなく別の小標本データにも応用できます。弊社にはベイズ統計に理解のあるディレクターもいるため、今回のようなベイズ推定結果を活用した取り組みも行われています。

なお、元ネタは統計モデリングの社内勉強会で階層ベイズを説明するときに使ったものです。この勉強会に参加したアナリストにもエンジニアにも受けがよかったのでブログ記事にしてみました。今後は小ネタでも役立ちそうなものがあれば紹介していこうと思います。